Studdy AI Logo
Math  /  Geometry

Question題 59. 次の球面の方程式を求めよ. (1) 2 点 A(1,−1,3),B(−3,5,3)\mathrm{A}(1,-1,3), \mathrm{B}(-3,5,3) が直径の両端である球面。 2) 4 点 C(0,1,0),D(2,1,2),E(4,1,0),F(2,−1,0)C(0,1,0), D(2,1,2), E(4,1,0), F(2,-1,0) を通る球面.

Studdy Solution

STEP 1

これは何を聞いているの？ 二つの球面の方程式を求める問題だね！一つは直径の両端が与えられていて、もう一つは球面上にある四つの点が与えられているよ。 注意！ 球面の方程式は(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2の形になることを覚えておこう！中心(a,b,c)(a, b, c)と半径rrを求めることが鍵だよ！

STEP 2

1. 直径が与えられた球面の方程式を求める
2. 四つの点を通る球面の方程式を求める

STEP 3

直径の両端がA(1,−1,3)(1, -1, 3)とB(−3,5,3)(-3, 5, 3)だから、中心はAとBの中点だね！中点の座標は、各座標の平均を取って、(1+(−3)2,−1+52,3+32)=(−1,2,3)\left(\frac{1+(-3)}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = (-1, 2, 3)となるよ！

STEP 4

中心とAの距離が半径rrだね！距離の公式を使って、r=(−1−1)2+(2−(−1))2+(3−3)2=4+9+0=13r = \sqrt{(-1-1)^2 + (2-(-1))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{4+9+0} = \sqrt{13}になるよ。

STEP 5

中心(−1,2,3)(-1, 2, 3)と半径13\sqrt{13}だから、球面の方程式は(x−(−1))2+(y−2)2+(z−3)2=(13)2(x-(-1))^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (\sqrt{13})^2つまり(x+1)2+(y−2)2+(z−3)2=13(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 13だね！

STEP 6

球面の方程式はx2+y2+z2+lx+my+nz+k=0x^2 + y^2 + z^2 + lx + my + nz + k = 0の形で表せるよ。

STEP 7

四つの点C(0,1,0)(0, 1, 0), D(2,1,2)(2, 1, 2), E(4,1,0)(4, 1, 0), F(2,−1,0)(2, -1, 0)を代入して、四つの式を立てよう！ Cから1+m+k=01 + m + k = 0 Dから4+1+4+2l+m+2n+k=0  ⟹  2l+m+2n+k=−94 + 1 + 4 + 2l + m + 2n + k = 0 \implies 2l + m + 2n + k = -9 Eから16+1+4l+m+k=0  ⟹  4l+m+k=−1716 + 1 + 4l + m + k = 0 \implies 4l + m + k = -17 Fから4+1+2l−m+k=0  ⟹  2l−m+k=−54 + 1 + 2l - m + k = 0 \implies 2l - m + k = -5

STEP 8

これらの式を解いて、l,m,n,kl, m, n, kを求めよう！ まず、m+k=−1m + k = -1だね。これを他の式に代入すると、2l+2n−1=−9  ⟹  2l+2n=−8  ⟹  l+n=−42l + 2n -1 = -9 \implies 2l + 2n = -8 \implies l + n = -4と4l−1=−17  ⟹  4l=−16  ⟹  l=−44l - 1 = -17 \implies 4l = -16 \implies l = -4と2l−m+k=−52l - m + k = -5から2l−(m+k)+2k=−5  ⟹  −8−(−1)+2k=−5  ⟹  2k=2  ⟹  k=12l - (m + k) + 2k = -5 \implies -8 - (-1) + 2k = -5 \implies 2k = 2 \implies k = 1となる。そして、m=−2m = -2とn=0n = 0が求まるね！

STEP 9

l=−4,m=−2,n=0,k=1l = -4, m = -2, n = 0, k = 1だから、球面の方程式はx2+y2+z2−4x−2y+1=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 1 = 0だよ！

STEP 10

(1) (x+1)2+(y−2)2+(z−3)2=13(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 13 (2) x2+y2+z2−4x−2y+1=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 1 = 0

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord