Question5) One of the following statements is true - a) $\operatorname{det}\left(A B^{-1} d=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)\right.$ (D) $a_{21} A_{31}+a_{22} A_{32}+a_{23} A_{33}=\operatorname{det}(A)$ c) $\operatorname{det}\left(2 A^{-1}\right)^{2}=2 \operatorname{det}\left(A^{T}\right)$ d) If $A=\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{array}\right]$, then $\operatorname{det}(\mathrm{A})=1$ e) $\operatorname{det}(\mathrm{A})-\operatorname{det}\left(A^{T}\right)=1$

STEP 1

STEP 2

تحليل العبارة (a): $$\operatorname{det}\left(A B^{-1}\right) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$$
هذه العبارة غير صحيحة. حيث أن $\operatorname{det}\left(A B^{-1}\right) = \frac{\operatorname{det}(A)}{\operatorname{det}(B)}$.

STEP 3

تحليل العبارة (b): $$a_{21} A_{31} + a_{22} A_{32} + a_{23} A_{33} = \operatorname{det}(A)$$
هذه العبارة غير صحيحة بشكل عام، حيث أن التعبير المعطى لا يمثل صيغة محددة لمحدد المصفوفة.

STEP 4

تحليل العبارة (c): $$\operatorname{det}\left(2 A^{-1}\right)^{2} = 2 \operatorname{det}\left(A^{T}\right)$$
هذه العبارة غير صحيحة. حيث أن $\operatorname{det}\left(2 A^{-1}\right) = \left(\frac{2}{\operatorname{det}(A)}\right)$ وبالتالي $\operatorname{det}\left(2 A^{-1}\right)^{2} = \left(\frac{4}{\operatorname{det}(A)^2}\right)$.

STEP 5

تحليل العبارة (d): إذا كانت $A = \left[\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{array}\right]$، فإن $\operatorname{det}(A) = 1$.
هذه العبارة صحيحة، حيث أن المحدد للمصفوفة الدورانية هو 1.

STEP 6

تحليل العبارة (e): $$\operatorname{det}(A) - \operatorname{det}\left(A^{T}\right) = 1$$
هذه العبارة غير صحيحة بشكل عام، حيث أن $\operatorname{det}(A) = \operatorname{det}\left(A^{T}\right)$.
العبارة الصحيحة هي (d).