Math / Calculus

Question5) Obtenga la integral $\int \frac{2 x^{2}+x-8}{x\left(x^{2}+4\right)} d x$

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están pidiendo? Nos piden resolver una integral que involucra una función racional con un polinomio de segundo grado en el denominador. ¡Cuidado! Hay que tener cuidado al descomponer la fracción en fracciones parciales, asegurándonos de considerar la forma correcta para el factor cuadrático.

STEP 2

1. Descomposición en fracciones parciales
2. Integración de las fracciones parciales

STEP 3

¡Manos a la obra! Vamos a descomponer nuestra fracción en fracciones más simples.
Como tenemos un factor lineal $x$ y un factor cuadrático irreducible $x^2 + 4$ , la descomposición tendrá la forma: $\frac{2x^2 + x - 8}{x(x^2 + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4}$ donde $A$ , $B$ y $C$ son constantes que necesitamos determinar.

STEP 4

Para encontrar $A$ , $B$ y $C$ , multiplicamos ambos lados de la ecuación por $x(x^2 + 4)$ : $2x^2 + x - 8 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x$

STEP 5

¡A resolver el misterio! Si hacemos $x = 0$ , podemos encontrar $A$ : $-8 = A(0 + 4) \implies -8 = 4A \implies A = -2$ ¡Genial! Ya tenemos $A = -2$ .

STEP 6

Ahora, sustituimos $A = -2$ en la ecuación y agrupamos los términos: $2x^2 + x - 8 = -2(x^2 + 4) + (Bx + C)x$ $2x^2 + x - 8 = -2x^2 - 8 + Bx^2 + Cx$ $4x^2 + x = Bx^2 + Cx$

STEP 7

¡Comparamos coeficientes! Igualando los coeficientes de $x^2$ , tenemos $B = 4$ .
Igualando los coeficientes de $x$ , tenemos $C = 1$ .

STEP 8

¡Lo logramos! Nuestra descomposición en fracciones parciales es: $\frac{2x^2 + x - 8}{x(x^2 + 4)} = \frac{-2}{x} + \frac{4x + 1}{x^2 + 4}$

STEP 9

¡A integrar! Ahora integramos cada fracción por separado: $\int \frac{2x^2 + x - 8}{x(x^2 + 4)} dx = \int \left( \frac{-2}{x} + \frac{4x + 1}{x^2 + 4} \right) dx$ $= -2 \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{4x}{x^2 + 4} dx + \int \frac{1}{x^2 + 4} dx$

STEP 10

La primera integral es inmediata: $-2 \int \frac{1}{x} dx = -2 \ln|x|$ .

STEP 11

Para la segunda integral, usamos la sustitución $u = x^2 + 4$ , con $du = 2x dx$ : $\int \frac{4x}{x^2 + 4} dx = 2 \int \frac{2x}{x^2+4}dx = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| = 2 \ln(x^2 + 4)$ Notar que $x^2+4$ es siempre positivo, por lo que podemos omitir el valor absoluto.

STEP 12

Para la tercera integral, recordamos que $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)$ , con $a = 2$ : $\int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$

STEP 13

¡Juntamos todo! $\int \frac{2x^2 + x - 8}{x(x^2 + 4)} dx = -2 \ln|x| + 2 \ln(x^2 + 4) + \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$

STEP 14

La solución a la integral es: $-2 \ln|x| + 2 \ln(x^2 + 4) + \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$

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