Question $4^{\frac{2}{x}}+3 \geqslant 4^{\frac{1+x}{x}}$

Studdy Solution

STEP 1

1. Неравенство $4^{\frac{2}{x}}+3 \geqslant 4^{\frac{1+x}{x}}$ является экспоненциальным.
2. Мы будем использовать свойства степеней и логарифмов для решения неравенства.

STEP 2

1. Изолировать экспоненциальные члены.
2. Преобразовать неравенство к общему основанию.
3. Решить неравенство для $x$ .

STEP 3

Сначала изолируем экспоненциальные члены. Перенесем $3$ на правую сторону:
$4^{\frac{2}{x}} \geqslant 4^{\frac{1+x}{x}} - 3$

STEP 4

Преобразуем обе стороны неравенства к общему основанию. Заметим, что $4 = 2^2$ , следовательно:
$(2^2)^{\frac{2}{x}} \geqslant (2^2)^{\frac{1+x}{x}} - 3$
Это упрощается до:
$2^{\frac{4}{x}} \geqslant 2^{\frac{2(1+x)}{x}} - 3$

STEP 5

Теперь упростим экспоненты:
$\frac{4}{x} \geqslant \frac{2(1+x)}{x}$

STEP 6

Решим неравенство для $x$ . Упростим выражение:
$\frac{4}{x} \geqslant \frac{2+2x}{x}$
Умножим обе стороны на $x$ (предполагая, что $x \neq 0$ ):
$4 \geqslant 2 + 2x$
Упростим:
$4 - 2 \geqslant 2x$ $2 \geqslant 2x$ $1 \geqslant x$
Таким образом, $x \leqslant 1$ .
Решение: $x \leqslant 1$ .

Was this helpful?

Get Studdy

Scan QR code with your device to get Studdy on iOS or Android

QR code

Studdy solves anything!

Download the app

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Parents Influencer program Contact Policy Terms