Question4. Определите, какие из следующих квадратичных форм являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет. а) (ЕД 4.221) $12 x_{1} x_{2}-12 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}-11 x_{1}^{2}-6 x_{2}^{2}-6 x_{3}^{2}$; б) (ЕД 4.222) $9 x_{1}^{2}+6 x_{2}^{2}+6 x_{3}^{3}+12 x_{1} x_{2}-10 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$; в) (ЕД 4.223) $2 x_{4}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}$; г) $($ ЕД 4.224$) x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}+8 x_{4}^{2}+8 x_{2} x_{4}$.

STEP 1

STEP 2

Представим каждую квадратичную форму в матричном виде. Это включает в себя определение симметричной матрицы, элементы которой соответствуют коэффициентам квадратичной формы.

STEP 3

а) Для формы $12 x_{1} x_{2} - 12 x_{1} x_{3} + 6 x_{2} x_{3} - 11 x_{1}^{2} - 6 x_{2}^{2} - 6 x_{3}^{2}$, соответствующая матрица:
$A = \begin{pmatrix} -11 & 6 & -6 \\ 6 & -6 & 3 \\ -6 & 3 & -6 \end{pmatrix}$
б) Для формы $9 x_{1}^{2} + 6 x_{2}^{2} + 6 x_{3}^{3} + 12 x_{1} x_{2} - 10 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}$, соответствующая матрица:
$B = \begin{pmatrix} 9 & 6 & -5 \\ 6 & 6 & -1 \\ -5 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
в) Для формы $2 x_{4}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{2} x_{4}$, соответствующая матрица:
$C = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & -1 & 1 \\ 0.5 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
г) Для формы $x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} + 8 x_{4}^{2} + 8 x_{2} x_{4}$, соответствующая матрица:
$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 8 \end{pmatrix}$

STEP 4

Вычислим главные миноры каждой матрицы. Главные миноры - это определители верхних левых подматриц.

STEP 5

а) Для матрицы $A$:
- Первый минор: $\det(-11) = -11$ - Второй минор: $\det \begin{pmatrix} -11 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} = (-11)(-6) - (6)(6) = 66 - 36 = 30$ - Третий минор: $\det(A)$
б) Для матрицы $B$:
- Первый минор: $\det(9) = 9$ - Второй минор: $\det \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} = (9)(6) - (6)(6) = 54 - 36 = 18$ - Третий минор: $\det(B)$
в) Для матрицы $C$:
- Первый минор: $\det(0) = 0$ - Второй минор: $\det \begin{pmatrix} 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0 \end{pmatrix} = (0)(0) - (0.5)(0.5) = -0.25$ - Третий минор: $\det \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0 & -1 \\ 0.5 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
г) Для матрицы $D$:
- Первый минор: $\det(1) = 1$ - Второй минор: $\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = (1)(4) - (0)(0) = 4$ - Третий минор: $\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 16$ - Четвертый минор: $\det(D)$

STEP 6

Применим критерий Сильвестра для определения типа квадратичной формы.
а) Матрица $A$: Первый минор отрицательный, форма не положительно определена.
б) Матрица $B$: Все миноры положительные, форма положительно определена.
в) Матрица $C$: Первый минор нулевой, форма не положительно определена.
г) Матрица $D$: Все миноры положительные, форма положительно определена.

STEP 7

Интерпретируем результаты:
а) Форма не является положительно определенной. б) Форма положительно определенная. в) Форма не является положительно определенной. г) Форма положительно определенная.
Решение завершено.