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Math  /  Calculus

Question4) Obtenga la integral ∫x2−4xdx\int \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x} d x

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están pidiendo? Calcular la integral indefinida de una función que involucra una raíz cuadrada y una variable en el denominador. ¡Cuidado! Recuerda que las integrales que involucran raíces cuadradas pueden requerir sustituciones trigonométricas.
No olvides la constante de integración al final.

STEP 2

1. Sustitución trigonométrica
2. Simplificación y nueva sustitución
3. Integración
4. Sustitución inversa y simplificación

STEP 3

¡Manos a la obra!
Dado que tenemos x2−4\sqrt{x^2 - 4}, una sustitución trigonométrica parece una buena idea.
Vamos a usar x=2sec⁡(θ)x = 2\sec(\theta). ¿Por qué?
Porque la identidad trigonométrica sec⁡2(θ)−1=tan⁡2(θ) \sec^2(\theta) - 1 = \tan^2(\theta) nos ayudará a simplificar la raíz cuadrada.

STEP 4

Calculemos el diferencial dxdx.
Si x=2sec⁡(θ)x = 2\sec(\theta), entonces dx=2sec⁡(θ)tan⁡(θ) dθdx = 2\sec(\theta)\tan(\theta) \, d\theta. ¡Perfecto!

STEP 5

Sustituyamos en la integral original: ∫x2−4xdx=∫(2sec⁡(θ))2−42sec⁡(θ)⋅2sec⁡(θ)tan⁡(θ) dθ \int \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} dx = \int \frac{\sqrt{(2\sec(\theta))^2 - 4}}{2\sec(\theta)} \cdot 2\sec(\theta)\tan(\theta) \, d\theta

STEP 6

Simplifiquemos la expresión dentro de la raíz cuadrada: (2sec⁡(θ))2−4=4sec⁡2(θ)−4=4(sec⁡2(θ)−1)=4tan⁡2(θ) (2\sec(\theta))^2 - 4 = 4\sec^2(\theta) - 4 = 4(\sec^2(\theta) - 1) = 4\tan^2(\theta) Entonces, 4tan⁡2(θ)=2∣tan⁡(θ)∣\sqrt{4\tan^2(\theta)} = 2|\tan(\theta)|.
Asumamos tan⁡(θ)≥0\tan(\theta) \ge 0 para simplificar, entonces tenemos 2tan⁡(θ)2\tan(\theta).

STEP 7

Nuestra integral se convierte en: ∫2tan⁡(θ)2sec⁡(θ)⋅2sec⁡(θ)tan⁡(θ) dθ=∫2tan⁡2(θ) dθ \int \frac{2\tan(\theta)}{2\sec(\theta)} \cdot 2\sec(\theta)\tan(\theta) \, d\theta = \int 2\tan^2(\theta) \, d\theta

STEP 8

Usando la identidad tan⁡2(θ)=sec⁡2(θ)−1\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1, tenemos: ∫2tan⁡2(θ) dθ=2∫(sec⁡2(θ)−1) dθ \int 2\tan^2(\theta) \, d\theta = 2 \int (\sec^2(\theta) - 1) \, d\theta

STEP 9

Ahora podemos integrar término a término: 2∫(sec⁡2(θ)−1) dθ=2(tan⁡(θ)−θ)+C 2 \int (\sec^2(\theta) - 1) \, d\theta = 2(\tan(\theta) - \theta) + C

STEP 10

Recordemos que x=2sec⁡(θ)x = 2\sec(\theta), lo que significa que sec⁡(θ)=x2\sec(\theta) = \frac{x}{2}.
Podemos formar un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es xx, el lado adyacente es 22 y el lado opuesto es x2−4\sqrt{x^2 - 4}.

STEP 11

Entonces, tan⁡(θ)=x2−42\tan(\theta) = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{2} y θ=sec⁡−1(x2)\theta = \sec^{-1}\left(\frac{x}{2}\right).

STEP 12

Sustituyendo estos valores en nuestra integral, obtenemos: 2(x2−42−sec⁡−1(x2))+C=x2−4−2sec⁡−1(x2)+C 2\left(\frac{\sqrt{x^2 - 4}}{2} - \sec^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C = \sqrt{x^2 - 4} - 2\sec^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C

STEP 13

La solución a la integral es x2−4−2sec⁡−1(x2)+C\sqrt{x^2 - 4} - 2\sec^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C.

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