Math  /  Calculus

Question4) Obtenga la integral 4x2x2dx\int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} d x (20 puntos) Es de carácter obligatorio presentar el triángulo rectángulo que va a utilizar para la solución de esta integral, y cada paso de su procedimiento.

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están pidiendo? Calcular la integral de una función que involucra una raíz cuadrada y una variable al cuadrado en el denominador, usando un triángulo rectángulo para ayudarnos. ¡Cuidado! No olvides dibujar el triángulo rectángulo y etiquetarlo correctamente. ¡Es clave para resolver este tipo de integrales trigonométricas!

STEP 2

1. Configurar la sustitución trigonométrica
2. Calcular la integral
3. Sustituir de nuevo a xx

STEP 3

¡Dibujemos un triángulo rectángulo!
Con x=2sin(θ)x=2\sin(\theta), tenemos sin(θ)=x2\sin(\theta) = \frac{x}{2}.
Esto nos dice que el cateto opuesto al ángulo θ\theta mide xx y la hipotenusa mide 2\textbf{2}.

STEP 4

Usando el Teorema de Pitágoras, el cateto adyacente mide 4x2\sqrt{4-x^2}. ¡Genial!

STEP 5

De nuestro triángulo, vemos que cot(θ)=4x2x\cot(\theta) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x}. ¡Esto nos será útil más adelante!

STEP 6

Derivando x=2sin(θ)x=2\sin(\theta) con respecto a θ\theta, obtenemos dx=2cos(θ)dθdx = \textbf{2}\cos(\theta)d\theta. ¡Perfecto!

STEP 7

Sustituyendo en la integral original, tenemos 4x2x2dx=44sin2(θ)4sin2(θ)2cos(θ)dθ \int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} dx = \int \frac{\sqrt{4-4\sin^2(\theta)}}{4\sin^2(\theta)} \cdot 2\cos(\theta)d\theta . ¡Un paso importante!

STEP 8

Simplificando, usando 44sin2(θ)=2cos(θ)\sqrt{4-4\sin^2(\theta)} = 2\cos(\theta), obtenemos 2cos(θ)4sin2(θ)2cos(θ)dθ=4cos2(θ)4sin2(θ)dθ=cot2(θ)dθ \int \frac{2\cos(\theta)}{4\sin^2(\theta)} \cdot 2\cos(\theta)d\theta = \int \frac{4\cos^2(\theta)}{4\sin^2(\theta)}d\theta = \int \cot^2(\theta)d\theta . ¡Mucho más manejable!

STEP 9

Usando la identidad trigonométrica cot2(θ)=csc2(θ)1\cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) - 1, tenemos (csc2(θ)1)dθ=cot(θ)θ+C \int (\csc^2(\theta) - 1)d\theta = -\cot(\theta) - \theta + C . ¡Casi terminamos!

STEP 10

Recordando que cot(θ)=4x2x\cot(\theta) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x} de nuestro triángulo, y que θ=arcsin(x2)\theta = \arcsin(\frac{x}{2}) de nuestra sustitución inicial, obtenemos cot(θ)θ+C=4x2xarcsin(x2)+C -\cot(\theta) - \theta + C = -\frac{\sqrt{4-x^2}}{x} - \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C . ¡Lo logramos!

STEP 11

La integral 4x2x2dx\int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} dx es igual a 4x2xarcsin(x2)+C-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x} - \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C.

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