Math / Calculus

Question4 Funktionen und Stammfunktionen a) Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Eintrag. \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Funktion $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ & $\mathrm{x}+1$ & ■ & $x\left(x^{2}-1\right)$ & $\sqrt{x}$ & 囯 & $\cos (\mathrm{x})$ & - \\ \hline Stammfunktion $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ & ■ & $0,5 x^{2}-4$ & ■ & 是 & $\sqrt{x}$ & [ & $\cos (x)$ \\ \hline \end{tabular} b) Finden Sie jeweils eine Stammfunktion. (1) $f(x)=2 x+t$ (2) $f(t)=2 t+x$ (3) $f(x)=a(x-b)^{2}$ (4) $f(x)=x^{2}(x-b)$

Studdy Solution

STEP 1

1. Eine Funktion $f(x)$ ist gegeben, und wir sollen die Stammfunktion $F(x)$ bestimmen.
2. Die Stammfunktion ist die Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt.
3. Die Tabelle enthält Lücken, die ausgefüllt werden müssen.
4. Wir müssen auch die Stammfunktionen für die gegebenen Funktionen in Teil b) finden.

STEP 2

1. Bestimmen Sie die fehlenden Einträge in der Tabelle.
2. Finden Sie die Stammfunktion für jede gegebene Funktion in Teil b).

STEP 3

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = x + 1$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + C$

STEP 4

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion $F(x) = 0.5x^2 - 4$ .
Die Funktion $f(x)$ ist: $f(x) = x$

STEP 5

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = x(x^2 - 1)$ .
Zuerst vereinfachen: $f(x) = x^3 - x$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C$

STEP 6

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion $F(x) = \sqrt{x}$ .
Die Funktion $f(x)$ ist: $f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

STEP 7

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = \cos(x)$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \sin(x) + C$

STEP 8

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = 2x + t$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = x^2 + tx + C$

STEP 9

Finden Sie die Stammfunktion für $f(t) = 2t + x$ .
Die Stammfunktion $F(t)$ ist: $F(t) = t^2 + xt + C$

STEP 10

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = a(x-b)^2$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{a}{3}(x-b)^3 + C$

STEP 11

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = x^2(x-b)$ .
Zuerst vereinfachen: $f(x) = x^3 - bx^2$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{b}{3}x^3 + C$

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STEP 1

STEP 2

1. Bestimmen Sie die fehlenden Einträge in der Tabelle.
2. Finden Sie die Stammfunktion für jede gegebene Funktion in Teil b).

STEP 3

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = x + 1$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + C$

STEP 4

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion $F(x) = 0.5x^2 - 4$ .
Die Funktion $f(x)$ ist: $f(x) = x$

STEP 5

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = x(x^2 - 1)$ .
Zuerst vereinfachen: $f(x) = x^3 - x$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C$

STEP 6

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion $F(x) = \sqrt{x}$ .
Die Funktion $f(x)$ ist: $f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

STEP 7

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = \cos(x)$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \sin(x) + C$

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Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = 2x + t$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = x^2 + tx + C$

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Finden Sie die Stammfunktion für $f(t) = 2t + x$ .
Die Stammfunktion $F(t)$ ist: $F(t) = t^2 + xt + C$

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Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = a(x-b)^2$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{a}{3}(x-b)^3 + C$

STEP 11

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = x^2(x-b)$ .
Zuerst vereinfachen: $f(x) = x^3 - bx^2$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{b}{3}x^3 + C$

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STEP 2

1. Bestimmen Sie die fehlenden Einträge in der Tabelle.2. Finden Sie die Stammfunktion für jede gegebene Funktion in Teil b).

STEP 3

Bestimmen Sie die Stammfunktion für f(x)=x+1 f(x) = x + 1 f(x)=x+1.Die Stammfunktion F(x) F(x) F(x) ist: F(x)=12x2+x+C F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + C F(x)=21​x2+x+C

STEP 4

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion F(x)=0.5x2−4 F(x) = 0.5x^2 - 4 F(x)=0.5x2−4.Die Funktion f(x) f(x) f(x) ist: f(x)=x f(x) = x f(x)=x

STEP 5

Bestimmen Sie die Stammfunktion für f(x)=x(x2−1) f(x) = x(x^2 - 1) f(x)=x(x2−1).Zuerst vereinfachen: f(x)=x3−x f(x) = x^3 - x f(x)=x3−x.Die Stammfunktion F(x) F(x) F(x) ist: F(x)=14x4−12x2+C F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C F(x)=41​x4−21​x2+C

STEP 6

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion F(x)=x F(x) = \sqrt{x} F(x)=x​.Die Funktion f(x) f(x) f(x) ist: f(x)=12x−12 f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} f(x)=21​x−21​

STEP 7

Bestimmen Sie die Stammfunktion für f(x)=cos⁡(x) f(x) = \cos(x) f(x)=cos(x).Die Stammfunktion F(x) F(x) F(x) ist: F(x)=sin⁡(x)+C F(x) = \sin(x) + C F(x)=sin(x)+C

STEP 8

Finden Sie die Stammfunktion für f(x)=2x+t f(x) = 2x + t f(x)=2x+t.Die Stammfunktion F(x) F(x) F(x) ist: F(x)=x2+tx+C F(x) = x^2 + tx + C F(x)=x2+tx+C

STEP 9

Finden Sie die Stammfunktion für f(t)=2t+x f(t) = 2t + x f(t)=2t+x.Die Stammfunktion F(t) F(t) F(t) ist: F(t)=t2+xt+C F(t) = t^2 + xt + C F(t)=t2+xt+C

STEP 10

Finden Sie die Stammfunktion für f(x)=a(x−b)2 f(x) = a(x-b)^2 f(x)=a(x−b)2.Die Stammfunktion F(x) F(x) F(x) ist: F(x)=a3(x−b)3+C F(x) = \frac{a}{3}(x-b)^3 + C F(x)=3a​(x−b)3+C

STEP 11

Finden Sie die Stammfunktion für f(x)=x2(x−b) f(x) = x^2(x-b) f(x)=x2(x−b).Zuerst vereinfachen: f(x)=x3−bx2 f(x) = x^3 - bx^2 f(x)=x3−bx2.Die Stammfunktion F(x) F(x) F(x) ist: F(x)=14x4−b3x3+C F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{b}{3}x^3 + C F(x)=41​x4−3b​x3+C

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1. Bestimmen Sie die fehlenden Einträge in der Tabelle.
2. Finden Sie die Stammfunktion für jede gegebene Funktion in Teil b).

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = x + 1$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + C$

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion $F(x) = 0.5x^2 - 4$ .
Die Funktion $f(x)$ ist: $f(x) = x$

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = x(x^2 - 1)$ .
Zuerst vereinfachen: $f(x) = x^3 - x$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C$

Bestimmen Sie die Funktion für die Stammfunktion $F(x) = \sqrt{x}$ .
Die Funktion $f(x)$ ist: $f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Bestimmen Sie die Stammfunktion für $f(x) = \cos(x)$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \sin(x) + C$

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = 2x + t$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = x^2 + tx + C$

Finden Sie die Stammfunktion für $f(t) = 2t + x$ .
Die Stammfunktion $F(t)$ ist: $F(t) = t^2 + xt + C$

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = a(x-b)^2$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{a}{3}(x-b)^3 + C$

Finden Sie die Stammfunktion für $f(x) = x^2(x-b)$ .
Zuerst vereinfachen: $f(x) = x^3 - bx^2$ .
Die Stammfunktion $F(x)$ ist: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{b}{3}x^3 + C$