Studdy AI Logo
Math  /  Trigonometry

Question33
Тип 13 № 660752 i а) Решите уравнение cos⁡2x−3cos⁡(x−π)undefinedcos⁡(−π+x)+1=−cos⁡x\cos 2 x-\sqrt{3} \underbrace{\cos (x-\pi)}_{\cos (-\pi+\mathrm{x})}+1=-\cos \mathrm{x}. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π2;3π]\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right].

Studdy Solution

STEP 1

1. Уравнение cos⁡2x−3cos⁡(x−π)+1=−cos⁡x\cos 2x - \sqrt{3} \cos(x - \pi) + 1 = -\cos x является тригонометрическим.
2. Мы будем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения.
3. Мы будем искать все корни уравнения на отрезке [3π2;3π]\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right].

STEP 2

1. Упростить уравнение, используя тригонометрические тождества.
2. Решить упрощенное уравнение.
3. Найти все корни уравнения на заданном отрезке.

STEP 3

Упростим уравнение, используя тригонометрические тождества. Начнем с преобразования cos⁡(x−π)\cos(x - \pi):
cos⁡(x−π)=−cos⁡x\cos(x - \pi) = -\cos x
Подставим это в уравнение:
cos⁡2x−3(−cos⁡x)+1=−cos⁡x\cos 2x - \sqrt{3}(-\cos x) + 1 = -\cos x
Упростим:
cos⁡2x+3cos⁡x+1=−cos⁡x\cos 2x + \sqrt{3} \cos x + 1 = -\cos x

STEP 4

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:
cos⁡2x+3cos⁡x+1+cos⁡x=0\cos 2x + \sqrt{3} \cos x + 1 + \cos x = 0
Объединим подобные члены:
cos⁡2x+(3+1)cos⁡x+1=0\cos 2x + (\sqrt{3} + 1) \cos x + 1 = 0

STEP 5

Используем тождество cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 для замены cos⁡2x\cos 2x:
2cos⁡2x−1+(3+1)cos⁡x+1=02\cos^2 x - 1 + (\sqrt{3} + 1) \cos x + 1 = 0
Упростим:
2cos⁡2x+(3+1)cos⁡x=02\cos^2 x + (\sqrt{3} + 1) \cos x = 0

STEP 6

Вынесем cos⁡x\cos x за скобки:
cos⁡x(2cos⁡x+3+1)=0\cos x (2\cos x + \sqrt{3} + 1) = 0
Это дает два уравнения:
1. cos⁡x=0\cos x = 0
2. 2cos⁡x+3+1=02\cos x + \sqrt{3} + 1 = 0

STEP 7

Решим первое уравнение cos⁡x=0\cos x = 0:
x=π2+πn,n∈Zx = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
Найдем корни на отрезке [3π2;3π]\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]:
x=3π2,x=5π2x = \frac{3\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{2}

STEP 8

Решим второе уравнение 2cos⁡x+3+1=02\cos x + \sqrt{3} + 1 = 0:
2cos⁡x=−(3+1)2\cos x = -(\sqrt{3} + 1) cos⁡x=−3+12\cos x = -\frac{\sqrt{3} + 1}{2}
Поскольку −3+12-\frac{\sqrt{3} + 1}{2} выходит за пределы допустимых значений для cos⁡x\cos x (так как −1≤cos⁡x≤1-1 \leq \cos x \leq 1), это уравнение не имеет решений.
Решения на отрезке [3π2;3π]\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]:
x=3π2,x=5π2x = \frac{3\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{2}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord