Math Snap

STEP 1

1. Уравнение $\cos 2x - \sqrt{3} \cos(x - \pi) + 1 = -\cos x$ является тригонометрическим.
2. Мы будем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения.
3. Мы будем искать все корни уравнения на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

STEP 2

1. Упростить уравнение, используя тригонометрические тождества.
2. Решить упрощенное уравнение.
3. Найти все корни уравнения на заданном отрезке.

STEP 3

Упростим уравнение, используя тригонометрические тождества. Начнем с преобразования $\cos(x - \pi)$:
$$\cos(x - \pi) = -\cos x$$ Подставим это в уравнение:
$$\cos 2x - \sqrt{3}(-\cos x) + 1 = -\cos x$$ Упростим:
$$\cos 2x + \sqrt{3} \cos x + 1 = -\cos x$$

STEP 4

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:
$$\cos 2x + \sqrt{3} \cos x + 1 + \cos x = 0$$ Объединим подобные члены:
$$\cos 2x + (\sqrt{3} + 1) \cos x + 1 = 0$$

STEP 5

Используем тождество $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ для замены $\cos 2x$:
$$2\cos^2 x - 1 + (\sqrt{3} + 1) \cos x + 1 = 0$$ Упростим:
$$2\cos^2 x + (\sqrt{3} + 1) \cos x = 0$$

STEP 6

Вынесем $\cos x$ за скобки:
$$\cos x (2\cos x + \sqrt{3} + 1) = 0$$ Это дает два уравнения:
1. $\cos x = 0$
2. $2\cos x + \sqrt{3} + 1 = 0$

STEP 7

Решим первое уравнение $\cos x = 0$:
$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Найдем корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$:
$$x = \frac{3\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{2}$$

Решим второе уравнение $2\cos x + \sqrt{3} + 1 = 0$:
$$2\cos x = -(\sqrt{3} + 1)$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$ Поскольку $-\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ выходит за пределы допустимых значений для $\cos x$ (так как $-1 \leq \cos x \leq 1$), это уравнение не имеет решений.
Решения на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$:
$$x = \frac{3\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{2}$$