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Math  /  Trigonometry

Question3. Si el punto (π3;2n−12n+1)\left(\frac{\pi}{3} ; \frac{2 n-1}{2 n+1}\right) pertenece a la gráfica de la función y=cos⁡xy=\cos x, demuestra que n=3/2n=3 / 2

Studdy Solution

STEP 1

1. La gráfica de la función y=cos⁡xy = \cos x es una función trigonométrica.
2. El punto (π3;2n−12n+1)\left(\frac{\pi}{3}; \frac{2n-1}{2n+1}\right) pertenece a la gráfica de la función.
3. Si el punto pertenece a la gráfica, entonces las coordenadas (x,y)(x, y) deben satisfacer la ecuación y=cos⁡xy = \cos x.

STEP 2

1. Evaluar cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
2. Igualar cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) a 2n−12n+1\frac{2n-1}{2n+1}.
3. Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de nn.
4. Verificar que el valor obtenido para nn es correcto.

STEP 3

Evaluar cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right). cos⁡(π3)=12 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}

STEP 4

Igualar cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) a 2n−12n+1\frac{2n-1}{2n+1}. 12=2n−12n+1 \frac{1}{2} = \frac{2n-1}{2n+1}

STEP 5

Resolver la ecuación 12=2n−12n+1\frac{1}{2} = \frac{2n-1}{2n+1} para encontrar el valor de nn.
Multiplicar ambos lados de la ecuación por 2n+12n+1 para eliminar el denominador. 12(2n+1)=2n−1 \frac{1}{2} (2n+1) = 2n-1 2n+1=4n−2 2n+1 = 4n-2

STEP 6

Simplificar la ecuación para encontrar el valor de nn. 2n+1=4n−2 2n + 1 = 4n - 2 1+2=4n−2n 1 + 2 = 4n - 2n 3=2n 3 = 2n n=32 n = \frac{3}{2}

STEP 7

Verificar que el valor de nn obtenido satisface la ecuación original. Sustituir n=32n = \frac{3}{2} en 2n−12n+1\frac{2n-1}{2n+1}: 2(32)−12(32)+1=3−13+1=24=12 \frac{2 (\frac{3}{2}) - 1}{2 (\frac{3}{2}) + 1} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} Dado que cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, el valor obtenido para nn es correcto.
Por lo tanto, n=32n = \frac{3}{2} es la solución correcta.

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