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Math  /  Calculus

Question3) Obtenga la integral de ∫3x+4(x−2)(x2+2x+2)dx\int \frac{3 x+4}{(x-2)\left(x^{2}+2 x+2\right)} d x (20 pun
Recuerde presentar cada uno de los pasos para resolver esta integral.

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están pidiendo? Nos piden resolver la integral de una función racional que parece un poco complicada, pero no te preocupes, ¡la resolveremos paso a paso! ¡Cuidado! Es importante ser cuidadoso con los signos y las fracciones parciales. ¡Un pequeño error puede llevar a un resultado completamente diferente!

STEP 2

1. Descomponer en fracciones parciales
2. Integrar cada fracción parcial
3. Combinar los resultados

STEP 3

Primero, **descomponemos** la fracción en fracciones parciales.
Como el denominador tiene un factor lineal (x−2)(x-2) y un factor cuadrático irreducible x2+2x+2x^2 + 2x + 2, la descomposición tendrá la forma: 3x+4(x−2)(x2+2x+2)=Ax−2+Bx+Cx2+2x+2 \frac{3x+4}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2} donde AA, BB y CC son constantes que debemos determinar.

STEP 4

Para encontrar AA, BB y CC, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador original (x−2)(x2+2x+2)(x-2)(x^2+2x+2): 3x+4=A(x2+2x+2)+(Bx+C)(x−2) 3x+4 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2) Si hacemos x=2x=2, obtenemos 3(2)+4=A(22+2(2)+2)3(\textbf{2})+4 = A(\textbf{2}^2+2(\textbf{2})+2), lo que simplifica a 10=10A10 = 10A, por lo que A=1A = \textbf{1}. Ahora, sustituimos A=1A=1 en la ecuación: 3x+4=(x2+2x+2)+(Bx+C)(x−2) 3x+4 = (x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2) Expandiendo y agrupando términos, obtenemos: 3x+4=x2+2x+2+Bx2−2Bx+Cx−2C 3x+4 = x^2+2x+2 + Bx^2 -2Bx + Cx -2C 0x2+x+2=(1+B)x2+(−2B+C)x+(2−2C) 0x^2 + x + 2 = (1+B)x^2 + (-2B+C)x + (2-2C) Igualando los coeficientes de las potencias de xx, tenemos el sistema de ecuaciones: 1+B=01+B = 0 −2B+C=1-2B+C = 12−2C=22-2C = 2De la primera ecuación, B=-1B = \textbf{-1}.
De la tercera ecuación, C=0C = \textbf{0}.

STEP 5

Así, la descomposición en fracciones parciales es: 3x+4(x−2)(x2+2x+2)=1x−2−xx2+2x+2 \frac{3x+4}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{x}{x^2+2x+2}

STEP 6

La integral de la primera fracción es sencilla: ∫1x−2dx=ln⁡∣x−2∣+C1 \int \frac{1}{x-2} dx = \ln|x-2| + C_1

STEP 7

Para la segunda fracción, completamos el cuadrado en el denominador: x2+2x+2=(x+1)2+1x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1.
Reescribimos la fracción como: −∫x(x+1)2+1dx -\int \frac{x}{(x+1)^2+1} dx Usamos la sustitución u=x+1u = x+1, entonces x=u−1x = u-1 y dx=dudx = du: −∫u−1u2+1du=−∫uu2+1du+∫1u2+1du -\int \frac{u-1}{u^2+1} du = -\int \frac{u}{u^2+1} du + \int \frac{1}{u^2+1} du =−12ln⁡∣u2+1∣+arctan⁡(u)+C2 = -\frac{1}{2} \ln|u^2+1| + \arctan(u) + C_2 Sustituyendo de vuelta u=x+1u = x+1: −12ln⁡∣(x+1)2+1∣+arctan⁡(x+1)+C2=−12ln⁡∣x2+2x+2∣+arctan⁡(x+1)+C2 -\frac{1}{2} \ln|(x+1)^2+1| + \arctan(x+1) + C_2 = -\frac{1}{2} \ln|x^2+2x+2| + \arctan(x+1) + C_2

STEP 8

Combinando los resultados y simplificando la constante de integración, obtenemos la **integral final**: ∫3x+4(x−2)(x2+2x+2)dx=ln⁡∣x−2∣−12ln⁡∣x2+2x+2∣+arctan⁡(x+1)+C \int \frac{3x+4}{(x-2)(x^2+2x+2)} dx = \ln|x-2| -\frac{1}{2} \ln|x^2+2x+2| + \arctan(x+1) + C

STEP 9

La solución a la integral es ln⁡∣x−2∣−12ln⁡∣x2+2x+2∣+arctan⁡(x+1)+C\ln|x-2| -\frac{1}{2} \ln|x^2+2x+2| + \arctan(x+1) + C.

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