Math Snap

STEP 1

Założenia
1. $S(N) = \sum_{k=1}^{N} k$ jest sumą pierwszych $N$ liczb naturalnych.
2. Musimy znaleźć wartość $N$, która spełnia równanie:
$$ \sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = \frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right)
\]

STEP 2

Obliczmy $S(N)$, czyli sumę arytmetyczną pierwszych $N$ liczb naturalnych. Wzór na tę sumę to:
$$S(N) = \frac{N(N+1)}{2}$$

STEP 3

Zauważmy, że lewa strona równania to suma geometryczna:
$$\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{S(N)}$$

STEP 4

Wzór na sumę ciągu geometrycznego jest następujący:
$$\sum_{n=1}^{m} a^n = a \frac{a^m - 1}{a - 1}$$ Zastosujmy go dla $a = 4$ i $m = S(N)$:
$$\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 \frac{4^{S(N)} - 1}{4 - 1} = \frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1)$$

STEP 5

Porównajmy obie strony równania:
$$\frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1) = \frac{4}{3}(4^{55} - 1)$$

STEP 6

Ponieważ współczynniki $\frac{4}{3}$ są takie same po obu stronach, możemy porównać wykładniki:
$$4^{S(N)} = 4^{55}$$

STEP 7

Z tego wynika, że:
$$S(N) = 55$$

STEP 8

Podstawmy $S(N) = 55$ do wzoru na sumę arytmetyczną:
$$\frac{N(N+1)}{2} = 55$$

STEP 9

Rozwiążmy równanie:
$$N(N+1) = 110$$

STEP 10

Przekształćmy równanie kwadratowe:
$$N^2 + N - 110 = 0$$

STEP 11

Rozwiążmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru kwadratowego:
$$N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ gdzie $a = 1$, $b = 1$, $c = -110$.

STEP 12

Obliczmy deltę:
$$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$$

STEP 13

Obliczmy pierwiastek z delty:
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{441} = 21$$

STEP 14

Podstawmy wartości do wzoru kwadratowego:
$$N = \frac{-1 \pm 21}{2}$$

STEP 15

Obliczmy możliwe wartości $N$:
$$N_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$N_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$

Ponieważ $N$ musi być liczbą naturalną, wybieramy $N = 10$.
Wartość $N$ rozwiązująca równanie to $N = 10$.