Math / Algebra

Question3. If $S(N)=\sum_{k=1}^{N} k$ then which value of $N$ solves the following equation? $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n}=\frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) .$

Studdy Solution

STEP 1

Założenia
1. $S(N) = \sum_{k=1}^{N} k$ jest sumą pierwszych $N$ liczb naturalnych.
2. Musimy znaleźć wartość $N$ , która spełnia równanie: $ \sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = \frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) \]

STEP 2

Obliczmy $S(N)$ , czyli sumę arytmetyczną pierwszych $N$ liczb naturalnych. Wzór na tę sumę to: $S(N) = \frac{N(N+1)}{2}$

STEP 3

Zauważmy, że lewa strona równania to suma geometryczna: $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{S(N)}$

STEP 4

Wzór na sumę ciągu geometrycznego jest następujący: $\sum_{n=1}^{m} a^n = a \frac{a^m - 1}{a - 1}$ Zastosujmy go dla $a = 4$ i $m = S(N)$ : $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 \frac{4^{S(N)} - 1}{4 - 1} = \frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1)$

STEP 5

Porównajmy obie strony równania: $\frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1) = \frac{4}{3}(4^{55} - 1)$

STEP 6

Ponieważ współczynniki $\frac{4}{3}$ są takie same po obu stronach, możemy porównać wykładniki: $4^{S(N)} = 4^{55}$

STEP 7

Z tego wynika, że: $S(N) = 55$

STEP 8

Podstawmy $S(N) = 55$ do wzoru na sumę arytmetyczną: $\frac{N(N+1)}{2} = 55$

STEP 9

Rozwiążmy równanie: $N(N+1) = 110$

STEP 10

Przekształćmy równanie kwadratowe: $N^2 + N - 110 = 0$

STEP 11

Rozwiążmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru kwadratowego: $N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ gdzie $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -110$ .

STEP 12

Obliczmy deltę: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

STEP 13

Obliczmy pierwiastek z delty: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{441} = 21$

STEP 14

Podstawmy wartości do wzoru kwadratowego: $N = \frac{-1 \pm 21}{2}$

STEP 15

Obliczmy możliwe wartości $N$ : $N_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $N_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

STEP 16

Ponieważ $N$ musi być liczbą naturalną, wybieramy $N = 10$ .
Wartość $N$ rozwiązująca równanie to $N = 10$ .

Was this helpful?

Question3. If $S(N)=\sum_{k=1}^{N} k$ then which value of $N$ solves the following equation? $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n}=\frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) .$

Studdy Solution

STEP 1

Założenia
1. $S(N) = \sum_{k=1}^{N} k$ jest sumą pierwszych $N$ liczb naturalnych.
2. Musimy znaleźć wartość $N$ , która spełnia równanie: $ \sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = \frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) \]

STEP 2

Obliczmy $S(N)$ , czyli sumę arytmetyczną pierwszych $N$ liczb naturalnych. Wzór na tę sumę to: $S(N) = \frac{N(N+1)}{2}$

STEP 3

Zauważmy, że lewa strona równania to suma geometryczna: $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{S(N)}$

STEP 4

Wzór na sumę ciągu geometrycznego jest następujący: $\sum_{n=1}^{m} a^n = a \frac{a^m - 1}{a - 1}$ Zastosujmy go dla $a = 4$ i $m = S(N)$ : $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 \frac{4^{S(N)} - 1}{4 - 1} = \frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1)$

STEP 5

Porównajmy obie strony równania: $\frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1) = \frac{4}{3}(4^{55} - 1)$

STEP 6

Ponieważ współczynniki $\frac{4}{3}$ są takie same po obu stronach, możemy porównać wykładniki: $4^{S(N)} = 4^{55}$

STEP 7

Z tego wynika, że: $S(N) = 55$

STEP 8

Podstawmy $S(N) = 55$ do wzoru na sumę arytmetyczną: $\frac{N(N+1)}{2} = 55$

STEP 9

Rozwiążmy równanie: $N(N+1) = 110$

STEP 10

Przekształćmy równanie kwadratowe: $N^2 + N - 110 = 0$

STEP 11

Rozwiążmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru kwadratowego: $N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ gdzie $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -110$ .

STEP 12

Obliczmy deltę: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

STEP 13

Obliczmy pierwiastek z delty: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{441} = 21$

STEP 14

Podstawmy wartości do wzoru kwadratowego: $N = \frac{-1 \pm 21}{2}$

STEP 15

Obliczmy możliwe wartości $N$ : $N_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $N_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

STEP 16

Ponieważ $N$ musi być liczbą naturalną, wybieramy $N = 10$ .
Wartość $N$ rozwiązująca równanie to $N = 10$ .

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question3. If S(N)=∑k=1NkS(N)=\sum_{k=1}^{N} kS(N)=∑k=1N​k then which value of NNN solves the following equation? ∑n=1S(N)4n=43(455−1).\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n}=\frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) .n=1∑S(N)​4n=34​(455−1).

Studdy Solution

STEP 1

Założenia1. S(N)=∑k=1Nk S(N) = \sum_{k=1}^{N} k S(N)=∑k=1N​k jest sumą pierwszych N N N liczb naturalnych.2. Musimy znaleźć wartość N N N, która spełnia równanie: $ \sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = \frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) \]

STEP 2

Obliczmy S(N) S(N) S(N), czyli sumę arytmetyczną pierwszych N N N liczb naturalnych. Wzór na tę sumę to: S(N)=N(N+1)2S(N) = \frac{N(N+1)}{2}S(N)=2N(N+1)​

STEP 3

Zauważmy, że lewa strona równania to suma geometryczna: ∑n=1S(N)4n=4+42+43+…+4S(N)\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{S(N)}∑n=1S(N)​4n=4+42+43+…+4S(N)

STEP 4

STEP 5

Porównajmy obie strony równania: 43(4S(N)−1)=43(455−1)\frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1) = \frac{4}{3}(4^{55} - 1)34​(4S(N)−1)=34​(455−1)

STEP 6

Ponieważ współczynniki 43\frac{4}{3}34​ są takie same po obu stronach, możemy porównać wykładniki: 4S(N)=4554^{S(N)} = 4^{55}4S(N)=455

STEP 7

Z tego wynika, że: S(N)=55S(N) = 55S(N)=55

STEP 8

Podstawmy S(N)=55 S(N) = 55 S(N)=55 do wzoru na sumę arytmetyczną: N(N+1)2=55\frac{N(N+1)}{2} = 552N(N+1)​=55

STEP 9

Rozwiążmy równanie: N(N+1)=110N(N+1) = 110N(N+1)=110

STEP 10

Przekształćmy równanie kwadratowe: N2+N−110=0N^2 + N - 110 = 0N2+N−110=0

STEP 11

Rozwiążmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru kwadratowego: N=−b±b2−4ac2aN = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}N=2a−b±b2−4ac​​ gdzie a=1 a = 1 a=1, b=1 b = 1 b=1, c=−110 c = -110 c=−110.

STEP 12

Obliczmy deltę: Δ=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−110)=1+440=441\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441Δ=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−110)=1+440=441

STEP 13

Obliczmy pierwiastek z delty: Δ=441=21\sqrt{\Delta} = \sqrt{441} = 21Δ​=441​=21

STEP 14

Podstawmy wartości do wzoru kwadratowego: N=−1±212N = \frac{-1 \pm 21}{2}N=2−1±21​

STEP 15

Obliczmy możliwe wartości N N N: N1=−1+212=202=10N_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10N1​=2−1+21​=220​=10 N2=−1−212=−222=−11N_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11N2​=2−1−21​=2−22​=−11

STEP 16

Ponieważ N N N musi być liczbą naturalną, wybieramy N=10 N = 10 N=10.Wartość N N N rozwiązująca równanie to N=10 N = 10 N=10.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question3. If $S(N)=\sum_{k=1}^{N} k$ then which value of $N$ solves the following equation? $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n}=\frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) .$

Założenia
1. $S(N) = \sum_{k=1}^{N} k$ jest sumą pierwszych $N$ liczb naturalnych.
2. Musimy znaleźć wartość $N$ , która spełnia równanie: $ \sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = \frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) \]

Obliczmy $S(N)$ , czyli sumę arytmetyczną pierwszych $N$ liczb naturalnych. Wzór na tę sumę to: $S(N) = \frac{N(N+1)}{2}$

Zauważmy, że lewa strona równania to suma geometryczna: $\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{S(N)}$

Porównajmy obie strony równania: $\frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1) = \frac{4}{3}(4^{55} - 1)$

Ponieważ współczynniki $\frac{4}{3}$ są takie same po obu stronach, możemy porównać wykładniki: $4^{S(N)} = 4^{55}$

Z tego wynika, że: $S(N) = 55$

Podstawmy $S(N) = 55$ do wzoru na sumę arytmetyczną: $\frac{N(N+1)}{2} = 55$

Rozwiążmy równanie: $N(N+1) = 110$

Przekształćmy równanie kwadratowe: $N^2 + N - 110 = 0$

Rozwiążmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru kwadratowego: $N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ gdzie $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -110$ .

Obliczmy deltę: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Obliczmy pierwiastek z delty: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{441} = 21$

Podstawmy wartości do wzoru kwadratowego: $N = \frac{-1 \pm 21}{2}$

Obliczmy możliwe wartości $N$ : $N_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $N_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Ponieważ $N$ musi być liczbą naturalną, wybieramy $N = 10$ .
Wartość $N$ rozwiązująca równanie to $N = 10$ .