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Question3 Eine Schale enthält vier rote und drei blaue Kugeln. Es werden zufällig zwei Kugeln mit Zurück- legen entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a) sind es zwei rote Kugeln, b) ist eine Kugel blau und eine rot, c) ist mindestens eine rote Kugel dabei, d) ist höchstens eine blaue Kugel dabei?

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Die Schale enthält insgesamt 7 Kugeln: 4 rote und 3 blaue.
2. Die Entnahme erfolgt mit Zurücklegen, was bedeutet, dass die Kugel nach jeder Ziehung wieder in die Schale zurückgelegt wird.
3. Wir ziehen insgesamt 2 Kugeln.
4. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 47 \frac{4}{7} .
5. Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt 37 \frac{3}{7} .

STEP 2

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.
Da die Ziehung mit Zurücklegen erfolgt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für jede Ziehung gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist, beträgt 47 \frac{4}{7} und die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel ebenfalls rot ist, beträgt ebenfalls 47 \frac{4}{7} .
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:
P(zwei rote Kugeln)=47×47 P(\text{zwei rote Kugeln}) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}

STEP 3

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln.
P(zwei rote Kugeln)=47×47=1649 P(\text{zwei rote Kugeln}) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49}

STEP 4

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel blau und eine rot ist.
Es gibt zwei mögliche Fälle: die erste Kugel ist rot und die zweite blau, oder die erste Kugel ist blau und die zweite rot. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Fall ist:
P(rot, dann blau)=47×37 P(\text{rot, dann blau}) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}
P(blau, dann rot)=37×47 P(\text{blau, dann rot}) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Fälle:
P(eine rot, eine blau)=47×37+37×47 P(\text{eine rot, eine blau}) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}

STEP 5

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine rote und eine blaue Kugel.
P(eine rot, eine blau)=1249+1249=2449 P(\text{eine rot, eine blau}) = \frac{12}{49} + \frac{12}{49} = \frac{24}{49}

STEP 6

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel rot ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Kugel rot ist (also beide Kugeln blau sind), ist:
P(zwei blaue Kugeln)=37×37=949 P(\text{zwei blaue Kugeln}) = \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{49}
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel rot ist, ist das Komplement dazu:
P(mindestens eine rot)=1−P(zwei blaue Kugeln) P(\text{mindestens eine rot}) = 1 - P(\text{zwei blaue Kugeln})

STEP 7

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel.
P(mindestens eine rot)=1−949=4049 P(\text{mindestens eine rot}) = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}

STEP 8

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine blaue Kugel dabei ist.
Dies schließt die Fälle ein, dass entweder keine blaue Kugel oder genau eine blaue Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine blaue Kugel gezogen wird, ist die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, die wir bereits berechnet haben:
P(keine blaue Kugel)=1649 P(\text{keine blaue Kugel}) = \frac{16}{49}
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine blaue Kugel gezogen wird, ist die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine rot und eine blau ist, die wir ebenfalls bereits berechnet haben:
P(genau eine blaue Kugel)=2449 P(\text{genau eine blaue Kugel}) = \frac{24}{49}
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten:
P(ho¨chstens eine blaue Kugel)=P(keine blaue Kugel)+P(genau eine blaue Kugel) P(\text{höchstens eine blaue Kugel}) = P(\text{keine blaue Kugel}) + P(\text{genau eine blaue Kugel})

STEP 9

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens eine blaue Kugel.
P(ho¨chstens eine blaue Kugel)=1649+2449=4049 P(\text{höchstens eine blaue Kugel}) = \frac{16}{49} + \frac{24}{49} = \frac{40}{49}

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