Math / Data & Statistics

Question2.22 Forscher gehen daBC von aus, dass zwei Drittel aller Personen unter 50 Jahren das Herpes-Simplex-Virus HSV-1 in sich tragen. Dieses Virus verursacht vor allem Lippenbläschen. Mit dem Ausdruck $\binom{25}{15} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{10}$ wird die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses berechnet. a) Beschreiben Sie, um welches Ereignis es sich handelt. b) Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit. c) Beschreiben Sie, was der Binomialkoeffizient $\binom{25}{15}$ in Bezug auf ein zum Sachzusammenhang passendes Baumdiagramm angibt.
Aus allen unter 50-Jährigen werden zufällig 36 Personen ausgewählt. d) Berechnen Sie den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ für die Anzahl der Personen in dieser Gruppe, die HSV-1 in sich tragen. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von diesen 36 Personen genau $\mu$ Personen HSV-1 in sich tragen.

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in einer Gruppe von 25 Personen genau 15 das Herpesvirus HSV-1 in sich tragen, und dann ähnliche Berechnungen für eine Gruppe von 36 Personen durchführen. Vorsicht! Verwechsle nicht den Erwartungswert mit der Wahrscheinlichkeit, genau diesen Wert zu erhalten!

STEP 2

1. Ereignis beschreiben
2. Wahrscheinlichkeit berechnen
3. Bedeutung des Binomialkoeffizienten erklären
4. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
5. Wahrscheinlichkeit für genau μ Personen berechnen

STEP 3

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet wird, ist, dass von $\text{25}$ zufällig ausgewählten Personen unter $\text{50}$ Jahren genau $\text{15}$ Personen das HSV-1 Virus in sich tragen.

STEP 4

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit ist bereits gegeben: $\binom{25}{15} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10}$

STEP 5

Berechnung des Binomialkoeffizienten: $\binom{25}{15} = \frac{25!}{15! \cdot (25-15)!} = \frac{25!}{15! \cdot 10!} = \textbf{3.268.760}$

STEP 6

Berechnung der Wahrscheinlichkeit: $\textbf{3.268.760} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \approx \textbf{3.268.760} \cdot 0{,}00228 \cdot 0{,}000017 \approx \textbf{0{,}124}$ Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr $\textbf{12{,}4}$ %.

STEP 7

Der Binomialkoeffizient $\binom{25}{15}$ gibt die Anzahl der verschiedenen Pfade in einem Baumdiagramm an, die zu genau $\textbf{15}$ Personen mit HSV-1 führen, wenn wir $\textbf{25}$ Personen auswählen.
Jeder Pfad repräsentiert eine mögliche Kombination von $\text{15}$ Personen mit HSV-1 und $\text{10}$ Personen ohne HSV-1.

STEP 8

Erwartungswert: Bei $n = 36$ Personen und $p = \frac{2}{3}$ Wahrscheinlichkeit für HSV-1 ist der Erwartungswert: $\mu = n \cdot p = 36 \cdot \frac{2}{3} = \textbf{24}$

STEP 9

Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{36 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{8} \approx \textbf{2{,}83}$

STEP 10

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass von den $\text{36}$ Personen genau $\mu = \textbf{24}$ Personen HSV-1 haben.

STEP 11

Berechnung des Binomialkoeffizienten: $\binom{36}{24} = \frac{36!}{24! \cdot 12!} \approx \textbf{1.250.603.114}$

STEP 12

Berechnung der Wahrscheinlichkeit: $\binom{36}{24} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12} \approx \textbf{1.250.603.114} \cdot 0{,}000028 \cdot 0{,}0000005 \approx \textbf{0{,}146}$ Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr $\textbf{14{,}6}$ %.

STEP 13

a) Es handelt sich um das Ereignis, dass von 25 zufällig ausgewählten Personen unter 50 Jahren genau 15 Personen HSV-1 in sich tragen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 12,4%. c) Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm an, die zu genau 15 infizierten Personen führen. d) Der Erwartungswert ist μ = 24 und die Standardabweichung ist σ ≈ 2,83. e) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 24 Personen HSV-1 tragen, ist ungefähr 14,6%.

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STEP 2

1. Ereignis beschreiben
2. Wahrscheinlichkeit berechnen
3. Bedeutung des Binomialkoeffizienten erklären
4. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
5. Wahrscheinlichkeit für genau μ Personen berechnen

STEP 3

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet wird, ist, dass von $\text{25}$ zufällig ausgewählten Personen unter $\text{50}$ Jahren genau $\text{15}$ Personen das HSV-1 Virus in sich tragen.

STEP 4

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit ist bereits gegeben: $\binom{25}{15} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10}$

STEP 5

Berechnung des Binomialkoeffizienten: $\binom{25}{15} = \frac{25!}{15! \cdot (25-15)!} = \frac{25!}{15! \cdot 10!} = \textbf{3.268.760}$

STEP 6

Berechnung der Wahrscheinlichkeit: $\textbf{3.268.760} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \approx \textbf{3.268.760} \cdot 0{,}00228 \cdot 0{,}000017 \approx \textbf{0{,}124}$ Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr $\textbf{12{,}4}$ %.

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STEP 8

Erwartungswert: Bei $n = 36$ Personen und $p = \frac{2}{3}$ Wahrscheinlichkeit für HSV-1 ist der Erwartungswert: $\mu = n \cdot p = 36 \cdot \frac{2}{3} = \textbf{24}$

STEP 9

Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{36 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{8} \approx \textbf{2{,}83}$

STEP 10

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass von den $\text{36}$ Personen genau $\mu = \textbf{24}$ Personen HSV-1 haben.

STEP 11

Berechnung des Binomialkoeffizienten: $\binom{36}{24} = \frac{36!}{24! \cdot 12!} \approx \textbf{1.250.603.114}$

STEP 12

Berechnung der Wahrscheinlichkeit: $\binom{36}{24} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12} \approx \textbf{1.250.603.114} \cdot 0{,}000028 \cdot 0{,}0000005 \approx \textbf{0{,}146}$ Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr $\textbf{14{,}6}$ %.

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1. Ereignis beschreiben2. Wahrscheinlichkeit berechnen3. Bedeutung des Binomialkoeffizienten erklären4. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen5. Wahrscheinlichkeit für genau μ Personen berechnen

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Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet wird, ist, dass von 25\text{25}25 zufällig ausgewählten Personen unter 50\text{50}50 Jahren genau 15\text{15}15 Personen das HSV-1 Virus in sich tragen.

STEP 4

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit ist bereits gegeben: (2515)⋅(23)15⋅(13)10 \binom{25}{15} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} (1525​)⋅(32​)15⋅(31​)10

STEP 5

**Berechnung des Binomialkoeffizienten:** (2515)=25!15!⋅(25−15)!=25!15!⋅10!=3.268.760 \binom{25}{15} = \frac{25!}{15! \cdot (25-15)!} = \frac{25!}{15! \cdot 10!} = \textbf{3.268.760} (1525​)=15!⋅(25−15)!25!​=15!⋅10!25!​=3.268.760

STEP 6

STEP 7

STEP 8

**Erwartungswert:** Bei n=36n = 36n=36 Personen und p=23p = \frac{2}{3}p=32​ Wahrscheinlichkeit für HSV-1 ist der Erwartungswert: μ=n⋅p=36⋅23=24 \mu = n \cdot p = 36 \cdot \frac{2}{3} = \textbf{24} μ=n⋅p=36⋅32​=24

STEP 9

**Standardabweichung:** σ=n⋅p⋅(1−p)=36⋅23⋅13=8≈2,83 \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{36 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{8} \approx \textbf{2{,}83} σ=n⋅p⋅(1−p)​=36⋅32​⋅31​​=8​≈2,83

STEP 10

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass von den 36\text{36}36 Personen genau μ=24\mu = \textbf{24}μ=24 Personen HSV-1 haben.

STEP 11

**Berechnung des Binomialkoeffizienten:** (3624)=36!24!⋅12!≈1.250.603.114 \binom{36}{24} = \frac{36!}{24! \cdot 12!} \approx \textbf{1.250.603.114} (2436​)=24!⋅12!36!​≈1.250.603.114

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3. Bedeutung des Binomialkoeffizienten erklären
4. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
5. Wahrscheinlichkeit für genau μ Personen berechnen

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet wird, ist, dass von $\text{25}$ zufällig ausgewählten Personen unter $\text{50}$ Jahren genau $\text{15}$ Personen das HSV-1 Virus in sich tragen.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit ist bereits gegeben: $\binom{25}{15} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10}$

Berechnung des Binomialkoeffizienten: $\binom{25}{15} = \frac{25!}{15! \cdot (25-15)!} = \frac{25!}{15! \cdot 10!} = \textbf{3.268.760}$

Erwartungswert: Bei $n = 36$ Personen und $p = \frac{2}{3}$ Wahrscheinlichkeit für HSV-1 ist der Erwartungswert: $\mu = n \cdot p = 36 \cdot \frac{2}{3} = \textbf{24}$

Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{36 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{8} \approx \textbf{2{,}83}$

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass von den $\text{36}$ Personen genau $\mu = \textbf{24}$ Personen HSV-1 haben.

Berechnung des Binomialkoeffizienten: $\binom{36}{24} = \frac{36!}{24! \cdot 12!} \approx \textbf{1.250.603.114}$