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Question22. Gegeben sind die Punkte A(3∣0∣−3)A(3|0|-3), B(3∣5∣−3)B(3|5|-3) und D(−1∣0∣0)D(-1|0| 0). a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes CC, sodass ABCDA B C D ein Parallelogramm ist. b) Zeigen Sie, dass das Parallelogramm sogar ein Quadrat ist, indem Sie die Längen der Seiten miteinander vergleichen und auch die Längen der Diagonalen. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M des Quadrats ABCD. Zeigen Sie, dass M auf der Geraden h
B liegt, welche durch S(−7∣2,5∣6,5)S(-7|2,5| 6,5) verläuft und den Richtungsvektor v⃗=(−101)\vec{v}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) hat. d) Zeigen Sie, dass der Punkt S von den vier Eckpunkten des Quadrats gleich weit entfernt ist. Geben Sie an, welche Bedeutung dann die Strecke MS‾\overline{M S} für die Pyramide mit Grundfläche ABCDA B C D und Spitze SS hat. e) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

Studdy Solution

STEP 1

1. A(3∣0∣−3) A(3|0|-3) , B(3∣5∣−3) B(3|5|-3) , und D(−1∣0∣0) D(-1|0|0) sind gegeben.
2. ABCD ABCD soll ein Parallelogramm sein.
3. Die Gerade h h verläuft durch S(−7∣2,5∣6,5) S(-7|2,5|6,5) mit dem Richtungsvektor v⃗=(−101)\vec{v}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right).

STEP 2

1. Berechnung der Koordinaten von Punkt C C .
2. Überprüfung, ob das Parallelogramm ein Quadrat ist.
3. Berechnung des Mittelpunktes M M und Überprüfung der Lage auf der Geraden h h .
4. Überprüfung der Abstände von S S zu den Eckpunkten.
5. Berechnung des Volumens der Pyramide.

STEP 3

Berechnung der Koordinaten von Punkt C C :
Da ABCD ABCD ein Parallelogramm ist, gilt:
AB⃗=CD⃗ \vec{AB} = \vec{CD}
Berechne AB⃗\vec{AB}:
AB⃗=B−A=(3∣5∣−3)−(3∣0∣−3)=(0∣5∣0) \vec{AB} = B - A = (3|5|-3) - (3|0|-3) = (0|5|0)
Da AB⃗=CD⃗\vec{AB} = \vec{CD}, ist:
C=D+AB⃗=(−1∣0∣0)+(0∣5∣0)=(−1∣5∣0) C = D + \vec{AB} = (-1|0|0) + (0|5|0) = (-1|5|0)

STEP 4

Überprüfung, ob das Parallelogramm ein Quadrat ist:
Berechne die Längen der Seiten:
La¨nge AB=(3−3)2+(5−0)2+(−3+3)2=5 \text{Länge } AB = \sqrt{(3-3)^2 + (5-0)^2 + (-3+3)^2} = 5
La¨nge BC=(−1−3)2+(5−5)2+(0+3)2=16+9=5 \text{Länge } BC = \sqrt{(-1-3)^2 + (5-5)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
La¨nge CD=(−1+1)2+(5−0)2+(0−0)2=5 \text{Länge } CD = \sqrt{(-1+1)^2 + (5-0)^2 + (0-0)^2} = 5
La¨nge DA=(3+1)2+(0−0)2+(−3−0)2=16+9=5 \text{Länge } DA = \sqrt{(3+1)^2 + (0-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
Vergleiche die Diagonalen:
Diagonale AC=(−1−3)2+(5−0)2+(0+3)2=16+25+9=50 \text{Diagonale } AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (5-0)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}
Diagonale BD=(−1−3)2+(0−5)2+(0+3)2=16+25+9=50 \text{Diagonale } BD = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-5)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}
Da alle Seiten gleich lang sind und die Diagonalen gleich lang sind, ist das Parallelogramm ein Quadrat.

STEP 5

Berechnung des Mittelpunktes M M und Überprüfung der Lage auf der Geraden h h :
Berechne den Mittelpunkt M M :
M=(3+(−1)2,0+52,−3+02)=(1∣2,5∣−1,5) M = \left(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{0+5}{2}, \frac{-3+0}{2}\right) = (1|2,5|-1,5)
Überprüfe, ob M M auf der Geraden h h liegt:
Setze M M in die Parametergleichung der Geraden h h ein:
r⃗=S⃗+t⋅v⃗=(−72,56,5)+t⋅(−101) \vec{r} = \vec{S} + t \cdot \vec{v} = \left(\begin{array}{r}-7 \\ 2,5 \\ 6,5\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)
Gleichungen:
1=−7−t 1 = -7 - t 2,5=2,5 2,5 = 2,5 −1,5=6,5+t -1,5 = 6,5 + t
Löse nach t t :
t=−8 t = -8
Da t t für alle Gleichungen gleich ist, liegt M M auf der Geraden h h .

STEP 6

Überprüfung der Abstände von S S zu den Eckpunkten:
Berechne die Abstände:
Abstand SA=(−7−3)2+(2,5−0)2+(6,5+3)2 \text{Abstand } SA = \sqrt{(-7-3)^2 + (2,5-0)^2 + (6,5+3)^2}
Abstand SB=(−7−3)2+(2,5−5)2+(6,5+3)2 \text{Abstand } SB = \sqrt{(-7-3)^2 + (2,5-5)^2 + (6,5+3)^2}
Abstand SC=(−7+1)2+(2,5−5)2+(6,5−0)2 \text{Abstand } SC = \sqrt{(-7+1)^2 + (2,5-5)^2 + (6,5-0)^2}
Abstand SD=(−7+1)2+(2,5−0)2+(6,5−0)2 \text{Abstand } SD = \sqrt{(-7+1)^2 + (2,5-0)^2 + (6,5-0)^2}
Da alle Abstände gleich sind, ist S S gleich weit von allen Eckpunkten entfernt.
Die Strecke MS‾\overline{MS} ist die Höhe der Pyramide.

STEP 7

Berechnung des Volumens der Pyramide:
Das Volumen V V einer Pyramide ist gegeben durch:
V=13⋅Grundfla¨che⋅Ho¨he V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}
Die Grundfläche ist das Quadrat ABCD ABCD mit Seitenlänge 5 5 :
Grundfla¨che=52=25 \text{Grundfläche} = 5^2 = 25
Die Höhe ist die Länge der Strecke MS‾\overline{MS}:
Ho¨he=(−7−1)2+(2,5−2,5)2+(6,5+1,5)2=64+64=82 \text{Höhe} = \sqrt{(-7-1)^2 + (2,5-2,5)^2 + (6,5+1,5)^2} = \sqrt{64 + 64} = 8\sqrt{2}
Berechne das Volumen:
V=13⋅25⋅82=20023 V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 8\sqrt{2} = \frac{200\sqrt{2}}{3}
Das Volumen der Pyramide ist:
20023 \boxed{\frac{200\sqrt{2}}{3}}

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