Math / Calculus

Question21. Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=e^{x}$ und $g(x)=\frac{1}{x}$ . a) Bestimmen Sie häherungsweise den Schnittpunkt der beiden Graphen. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den die beiden Graphen über dem Intervall $[-2,2]$ oberhalb der $x$ -Achse einschließen.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Funktionen sind $f(x) = e^x$ und $g(x) = \frac{1}{x}$ .
2. Wir suchen den Schnittpunkt der beiden Graphen.
3. Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall $[-2, 2]$ .

STEP 2

1. Schnittpunkt der Graphen näherungsweise bestimmen.
2. Flächeninhalt zwischen den Graphen berechnen.

STEP 3

Setze die beiden Funktionen gleich, um den Schnittpunkt zu finden: $e^x = \frac{1}{x}$

STEP 4

Löse die Gleichung $e^x = \frac{1}{x}$ näherungsweise, z.B. durch graphische Darstellung oder numerische Methoden wie das Newton-Verfahren.

STEP 5

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall $[-2, 2]$ .
Bestimme die Integrale: $\int_{-2}^{2} e^x \, dx$ $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x} \, dx$

STEP 6

Berechne das Integral von $f(x) = e^x$ : $\int_{-2}^{2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-2}^{2} = e^2 - e^{-2}$

STEP 7

Berechne das Integral von $g(x) = \frac{1}{x}$ : $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x} \, dx$
Da $\frac{1}{x}$ eine Polstelle bei $x = 0$ hat, ist das Integral über $[-2, 2]$ nicht definiert. Wir müssen den Bereich in zwei Teile aufteilen: $\int_{-2}^{0} \frac{1}{x} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{x} \, dx$
Diese Integrale sind divergent, daher ist der Flächeninhalt nicht berechenbar.
Da das Integral von $g(x) = \frac{1}{x}$ über $[-2, 2]$ nicht definiert ist, kann der Flächeninhalt nicht berechnet werden.

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Question21. Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=e^{x}$ und $g(x)=\frac{1}{x}$ . a) Bestimmen Sie häherungsweise den Schnittpunkt der beiden Graphen. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den die beiden Graphen über dem Intervall $[-2,2]$ oberhalb der $x$ -Achse einschließen.

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1. Die Funktionen sind $f(x) = e^x$ und $g(x) = \frac{1}{x}$ .
2. Wir suchen den Schnittpunkt der beiden Graphen.
3. Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall $[-2, 2]$ .

STEP 2

1. Schnittpunkt der Graphen näherungsweise bestimmen.
2. Flächeninhalt zwischen den Graphen berechnen.

STEP 3

Setze die beiden Funktionen gleich, um den Schnittpunkt zu finden: $e^x = \frac{1}{x}$

STEP 4

Löse die Gleichung $e^x = \frac{1}{x}$ näherungsweise, z.B. durch graphische Darstellung oder numerische Methoden wie das Newton-Verfahren.

STEP 5

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall $[-2, 2]$ .
Bestimme die Integrale: $\int_{-2}^{2} e^x \, dx$ $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x} \, dx$

STEP 6

Berechne das Integral von $f(x) = e^x$ : $\int_{-2}^{2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-2}^{2} = e^2 - e^{-2}$

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STEP 1

1. Die Funktionen sind f(x)=ex f(x) = e^x f(x)=ex und g(x)=1x g(x) = \frac{1}{x} g(x)=x1​.2. Wir suchen den Schnittpunkt der beiden Graphen.3. Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall [−2,2][-2, 2][−2,2].

STEP 2

1. Schnittpunkt der Graphen näherungsweise bestimmen.2. Flächeninhalt zwischen den Graphen berechnen.

STEP 3

Setze die beiden Funktionen gleich, um den Schnittpunkt zu finden: ex=1x e^x = \frac{1}{x} ex=x1​

STEP 4

Löse die Gleichung ex=1x e^x = \frac{1}{x} ex=x1​ näherungsweise, z.B. durch graphische Darstellung oder numerische Methoden wie das Newton-Verfahren.

STEP 5

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall [−2,2][-2, 2][−2,2].Bestimme die Integrale: ∫−22ex dx \int_{-2}^{2} e^x \, dx ∫−22​exdx ∫−221x dx \int_{-2}^{2} \frac{1}{x} \, dx ∫−22​x1​dx

STEP 6

Berechne das Integral von f(x)=ex f(x) = e^x f(x)=ex: ∫−22ex dx=[ex]−22=e2−e−2 \int_{-2}^{2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-2}^{2} = e^2 - e^{-2} ∫−22​exdx=[ex]−22​=e2−e−2

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1. Die Funktionen sind $f(x) = e^x$ und $g(x) = \frac{1}{x}$ .
2. Wir suchen den Schnittpunkt der beiden Graphen.
3. Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall $[-2, 2]$ .

1. Schnittpunkt der Graphen näherungsweise bestimmen.
2. Flächeninhalt zwischen den Graphen berechnen.

Setze die beiden Funktionen gleich, um den Schnittpunkt zu finden: $e^x = \frac{1}{x}$

Löse die Gleichung $e^x = \frac{1}{x}$ näherungsweise, z.B. durch graphische Darstellung oder numerische Methoden wie das Newton-Verfahren.

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen über dem Intervall $[-2, 2]$ .
Bestimme die Integrale: $\int_{-2}^{2} e^x \, dx$ $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x} \, dx$

Berechne das Integral von $f(x) = e^x$ : $\int_{-2}^{2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-2}^{2} = e^2 - e^{-2}$