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Math  /  Calculus

Question2) Utilice la integración por partes para evaluar la integral ∫xe3xdx\int x e^{3 x} d x

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están pidiendo? Nos piden resolver una integral usando integración por partes.
Específicamente, necesitamos encontrar la integral de xx multiplicado por ee elevado a la 3x3x. ¡Cuidado! Es fácil confundirse con la elección de uu y dvdv en la integración por partes. ¡Hay que elegir sabiamente!

STEP 2

1. Definir uu y dvdv
2. Calcular dudu y vv
3. Aplicar la fórmula de integración por partes
4. Simplificar el resultado

STEP 3

Recordamos la fórmula de integración por partes: ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du.
Para nuestra integral ∫xe3xdx\int x e^{3x} dx, queremos elegir una uu que se simplifique al derivarla y una dvdv que podamos integrar fácilmente.

STEP 4

**Elegimos** u=xu = x y dv=e3xdxdv = e^{3x} dx. ¡Excelente elección!
Derivar xx nos dará algo más simple, y sabemos cómo integrar e3xdxe^{3x} dx.

STEP 5

**Calculamos** dudu derivando uu: du=ddx(x)dx=1dx=dxdu = \frac{d}{dx}(x) dx = 1 dx = dx. ¡Perfecto!

STEP 6

**Calculamos** vv integrando dvdv: v=∫e3xdx=13e3xv = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}.
Aquí, dividimos por **3** para compensar la derivada interna que aparecería al derivar 13e3x\frac{1}{3} e^{3x}.

STEP 7

**Sustituimos** nuestros valores de uu, vv, dudu y dvdv en la fórmula de integración por partes: ∫xe3xdx=uv−∫v du=x⋅13e3x−∫13e3xdx \int x e^{3x} dx = uv - \int v \, du = x \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx

STEP 8

**Resolvemos** la integral restante: ∫13e3xdx=13∫e3xdx=13⋅13e3x=19e3x \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{1}{3} \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} = \frac{1}{9} e^{3x} Nuevamente, dividimos por **3** para compensar la derivada interna.

STEP 9

**Sustituimos** este resultado en nuestra expresión: x⋅13e3x−∫13e3xdx=13xe3x−19e3x x \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x}

STEP 10

**Factorizamos** 19e3x\frac{1}{9} e^{3x} para obtener una expresión más limpia: 13xe3x−19e3x=19e3x(3x−1) \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} = \frac{1}{9} e^{3x} (3x - 1) No olvidemos la constante de integración, ¡esencial en las integrales indefinidas!

STEP 11

La integral ∫xe3xdx\int x e^{3x} dx es igual a 19e3x(3x−1)+C\frac{1}{9} e^{3x} (3x - 1) + C.

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