Math / Calculus

Question2) Si $f(x, y)=1$ , alors pour tout domaine $D$ du plan cartésien, on a: $\operatorname{Aire}(D)=\iint_{D} d A$
Exemple: calculer l'aire du domaine $D$ délimité par les courbes des fonctions $y=2-x^{2}$ et $y=|x|$ . I

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce qu'on nous demande ? On doit calculer l'aire d'une surface $D$ coincée entre deux courbes : $y = 2 - x^2$ et $y = |x|$ . Attention ! Il faut bien identifier les points d'intersection des courbes pour déterminer les bornes de l'intégrale.
N'oublions pas que $|x|$ est défini différemment selon que $x$ est positif ou négatif.

STEP 2

1. Trouver les points d'intersection
2. Définir l'intégrale
3. Calculer l'intégrale

STEP 3

Pour trouver les points d'intersection, on cherche les $x$ pour lesquels $2 - x^2 = |x|$ .

STEP 4

Si $x \ge 0$ , alors $|x| = x$ .
On résout $2 - x^2 = x$ , ce qui donne $x^2 + x - 2 = 0$ .

STEP 5

En factorisant, on obtient $(x+2)(x-1) = 0$ .
Les solutions sont $x = -2$ et $x = 1$ .
Puisque on a supposé $x \ge 0$ , on garde seulement $x = 1$ .
Quand $x = 1$ , $y = |1| = 1$ .
Donc, le point d'intersection est $(1, 1)$ .

STEP 6

Si $x < 0$ , alors $|x| = -x$ .
On résout $2 - x^2 = -x$ , ce qui donne $x^2 - x - 2 = 0$ .

STEP 7

En factorisant, on obtient $(x-2)(x+1) = 0$ .
Les solutions sont $x = 2$ et $x = -1$ .
Puisque on a supposé $x < 0$ , on garde seulement $x = -1$ .
Quand $x = -1$ , $y = |-1| = 1$ .
Donc, le point d'intersection est $(-1, 1)$ .

STEP 8

L'aire $A$ de $D$ est donnée par l'intégrale de la différence entre les deux fonctions, entre les bornes $x = -1$ et $x = 1$ .

STEP 9

$A = \int_{-1}^{1} ( (2 - x^2) - |x| ) \, dx$

STEP 10

Comme la fonction est symétrique par rapport à l'axe des $y$ , on peut simplifier le calcul : $A = 2 \int_{0}^{1} ( (2 - x^2) - x ) \, dx$ car $|x| = x$ pour $x \ge 0$ .

STEP 11

$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx$

STEP 12

$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$

STEP 13

$A = 2 \left[ \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) \right]$

STEP 14

$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3}$

STEP 15

L'aire du domaine $D$ est $\frac{7}{3}$ .

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Question2) Si $f(x, y)=1$ , alors pour tout domaine $D$ du plan cartésien, on a: $\operatorname{Aire}(D)=\iint_{D} d A$
Exemple: calculer l'aire du domaine $D$ délimité par les courbes des fonctions $y=2-x^{2}$ et $y=|x|$ . I

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Trouver les points d'intersection
2. Définir l'intégrale
3. Calculer l'intégrale

STEP 3

Pour trouver les points d'intersection, on cherche les $x$ pour lesquels $2 - x^2 = |x|$ .

STEP 4

Si $x \ge 0$ , alors $|x| = x$ .
On résout $2 - x^2 = x$ , ce qui donne $x^2 + x - 2 = 0$ .

STEP 5

En factorisant, on obtient $(x+2)(x-1) = 0$ .
Les solutions sont $x = -2$ et $x = 1$ .
Puisque on a supposé $x \ge 0$ , on garde seulement $x = 1$ .
Quand $x = 1$ , $y = |1| = 1$ .
Donc, le point d'intersection est $(1, 1)$ .

STEP 6

Si $x < 0$ , alors $|x| = -x$ .
On résout $2 - x^2 = -x$ , ce qui donne $x^2 - x - 2 = 0$ .

STEP 7

En factorisant, on obtient $(x-2)(x+1) = 0$ .
Les solutions sont $x = 2$ et $x = -1$ .
Puisque on a supposé $x < 0$ , on garde seulement $x = -1$ .
Quand $x = -1$ , $y = |-1| = 1$ .
Donc, le point d'intersection est $(-1, 1)$ .

STEP 8

L'aire $A$ de $D$ est donnée par l'intégrale de la différence entre les deux fonctions, entre les bornes $x = -1$ et $x = 1$ .

STEP 9

$A = \int_{-1}^{1} ( (2 - x^2) - |x| ) \, dx$

STEP 10

Comme la fonction est symétrique par rapport à l'axe des $y$ , on peut simplifier le calcul : $A = 2 \int_{0}^{1} ( (2 - x^2) - x ) \, dx$ car $|x| = x$ pour $x \ge 0$ .

STEP 11

$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx$

STEP 12

$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$

STEP 13

$A = 2 \left[ \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) \right]$

STEP 14

$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3}$

STEP 15

L'aire du domaine $D$ est $\frac{7}{3}$ .

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STEP 1

STEP 2

1. Trouver les points d'intersection2. Définir l'intégrale3. Calculer l'intégrale

STEP 3

Pour trouver les points d'intersection, on cherche les xxx pour lesquels 2−x2=∣x∣2 - x^2 = |x|2−x2=∣x∣.

STEP 4

Si x≥0x \ge 0x≥0, alors ∣x∣=x|x| = x∣x∣=x.On résout 2−x2=x2 - x^2 = x2−x2=x, ce qui donne x2+x−2=0x^2 + x - 2 = 0x2+x−2=0.

STEP 5

En factorisant, on obtient (x+2)(x−1)=0(x+2)(x-1) = 0(x+2)(x−1)=0.Les solutions sont x=−2x = -2x=−2 et x=1x = 1x=1.Puisque on a supposé x≥0x \ge 0x≥0, on garde seulement x=1x = 1x=1.Quand x=1x = 1x=1, y=∣1∣=1y = |1| = 1y=∣1∣=1.Donc, le point d'intersection est (1,1)(1, 1)(1,1).

STEP 6

Si x<0x < 0x<0, alors ∣x∣=−x|x| = -x∣x∣=−x.On résout 2−x2=−x2 - x^2 = -x2−x2=−x, ce qui donne x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0x2−x−2=0.

STEP 7

STEP 8

L'aire AAA de DDD est donnée par l'intégrale de la différence entre les deux fonctions, entre les bornes x=−1x = -1x=−1 et x=1x = 1x=1.

STEP 9

A=∫−11((2−x2)−∣x∣) dx A = \int_{-1}^{1} ( (2 - x^2) - |x| ) \, dx A=∫−11​((2−x2)−∣x∣)dx

STEP 10

Comme la fonction est symétrique par rapport à l'axe des yyy, on peut simplifier le calcul : A=2∫01((2−x2)−x) dx A = 2 \int_{0}^{1} ( (2 - x^2) - x ) \, dx A=2∫01​((2−x2)−x)dx car ∣x∣=x|x| = x∣x∣=x pour x≥0x \ge 0x≥0.

STEP 11

A=2∫01(2−x2−x) dx A = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx A=2∫01​(2−x2−x)dx

STEP 12

A=2[2x−x33−x22]01 A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 A=2[2x−3x3​−2x2​]01​

STEP 13

A=2[(2(1)−133−122)−(2(0)−033−022)] A = 2 \left[ \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) \right] A=2[(2(1)−313​−212​)−(2(0)−303​−202​)]

STEP 14

A=2(2−13−12)=2(12−2−36)=2⋅76=73 A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3} A=2(2−31​−21​)=2(612−2−3​)=2⋅67​=37​

STEP 15

L'aire du domaine DDD est 73\frac{7}{3}37​.

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1. Trouver les points d'intersection
2. Définir l'intégrale
3. Calculer l'intégrale

Pour trouver les points d'intersection, on cherche les $x$ pour lesquels $2 - x^2 = |x|$ .

Si $x \ge 0$ , alors $|x| = x$ .
On résout $2 - x^2 = x$ , ce qui donne $x^2 + x - 2 = 0$ .

En factorisant, on obtient $(x+2)(x-1) = 0$ .
Les solutions sont $x = -2$ et $x = 1$ .
Puisque on a supposé $x \ge 0$ , on garde seulement $x = 1$ .
Quand $x = 1$ , $y = |1| = 1$ .
Donc, le point d'intersection est $(1, 1)$ .

Si $x < 0$ , alors $|x| = -x$ .
On résout $2 - x^2 = -x$ , ce qui donne $x^2 - x - 2 = 0$ .

L'aire $A$ de $D$ est donnée par l'intégrale de la différence entre les deux fonctions, entre les bornes $x = -1$ et $x = 1$ .

$A = \int_{-1}^{1} ( (2 - x^2) - |x| ) \, dx$

Comme la fonction est symétrique par rapport à l'axe des $y$ , on peut simplifier le calcul : $A = 2 \int_{0}^{1} ( (2 - x^2) - x ) \, dx$ car $|x| = x$ pour $x \ge 0$ .

$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx$

$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$

$A = 2 \left[ \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) \right]$

$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3}$

L'aire du domaine $D$ est $\frac{7}{3}$ .