Math / Calculus

Question2. Про функції $f, g:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ відомо, що $f(x) \leq g(x)$ для всіх $x \geq 1$ і інтеграл $\int_{1}^{\infty} f(x) d x \in$ розбіжним. Чи можна щось сказати про збіжність інтеграла $\int_{1}^{\infty} g(x) d x$ ?

Studdy Solution

STEP 1

Что от нас хотят? Определить, можем ли мы что-то сказать о сходимости интеграла от большей функции, зная, что интеграл от меньшей функции расходится. Осторожно! Не перепутайте знаки "больше" и "меньше"!
Также помните, что расходимость интеграла не обязательно означает, что функция стремится к бесконечности.

STEP 2

1. Анализ условия
2. Пример
3. Вывод

STEP 3

Нам дано, что $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq 1$ .
Это означает, что функция $g(x)$ больше или равна функции $f(x)$ на заданном интервале.

STEP 4

Также нам сказано, что интеграл $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ расходится.
Это ключевая информация!
Расходимость интеграла означает, что площадь под графиком функции $f(x)$ от $1$ до бесконечности бесконечно большая.

STEP 5

Давайте рассмотрим конкретный пример.
Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 2$ .
Очевидно, что $f(x) \leq g(x)$ .

STEP 6

Вычислим интеграл от $f(x)$ : $\int_{1}^{\infty} 1 dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} 1 dx = \lim_{b \to \infty} [x]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (b - 1) = \infty$ Интеграл расходится, как и было задано в условии.

STEP 7

Теперь вычислим интеграл от $g(x)$ : $\int_{1}^{\infty} 2 dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} 2 dx = \lim_{b \to \infty} [2x]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (2b - 2) = \infty$ Этот интеграл тоже расходится!

STEP 8

Рассмотрим другой пример.
Пусть $f(x) = 1$ (как и раньше), а $g(x) = 1 + \frac{1}{x^2}$ .
Снова $f(x) \leq g(x)$ .
Интеграл от $f(x)$ расходится (мы это уже знаем).

STEP 9

Вычислим интеграл от $g(x)$ : $\int_{1}^{\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} (1 + \frac{1}{x^2}) dx = \lim_{b \to \infty} [x - \frac{1}{x}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (b - \frac{1}{b} - 1 + 1) = \infty$ И снова интеграл от $g(x)$ расходится!

STEP 10

Из рассмотренных примеров и условия $f(x) \leq g(x)$ можно сделать вывод, что если интеграл от меньшей функции $f(x)$ расходится, то интеграл от большей функции $g(x)$ тоже расходится.
Если площадь под меньшей функцией бесконечна, то площадь под большей функцией точно не может быть конечной!

STEP 11

Если $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ расходится и $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq 1$ , то $\int_{1}^{\infty} g(x) dx$ тоже расходится.

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Анализ условия
2. Пример
3. Вывод

STEP 3

Нам дано, что $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq 1$ .
Это означает, что функция $g(x)$ больше или равна функции $f(x)$ на заданном интервале.

STEP 4

STEP 5

Давайте рассмотрим конкретный пример.
Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 2$ .
Очевидно, что $f(x) \leq g(x)$ .

STEP 6

Вычислим интеграл от $f(x)$ : $\int_{1}^{\infty} 1 dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} 1 dx = \lim_{b \to \infty} [x]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (b - 1) = \infty$ Интеграл расходится, как и было задано в условии.

STEP 7

Теперь вычислим интеграл от $g(x)$ : $\int_{1}^{\infty} 2 dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} 2 dx = \lim_{b \to \infty} [2x]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (2b - 2) = \infty$ Этот интеграл тоже расходится!

STEP 8

Рассмотрим другой пример.
Пусть $f(x) = 1$ (как и раньше), а $g(x) = 1 + \frac{1}{x^2}$ .
Снова $f(x) \leq g(x)$ .
Интеграл от $f(x)$ расходится (мы это уже знаем).

STEP 9

STEP 10

STEP 11

Если $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ расходится и $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq 1$ , то $\int_{1}^{\infty} g(x) dx$ тоже расходится.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Анализ условия2. Пример3. Вывод

STEP 3

Нам дано, что f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x) для всех x≥1x \geq 1x≥1.Это означает, что функция g(x)g(x)g(x) **больше или равна** функции f(x)f(x)f(x) на заданном интервале.

STEP 4

STEP 5

Давайте рассмотрим **конкретный пример**.Пусть f(x)=1f(x) = 1f(x)=1 и g(x)=2g(x) = 2g(x)=2.Очевидно, что f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x).

STEP 6

STEP 7

STEP 8

Рассмотрим другой пример.Пусть f(x)=1f(x) = 1f(x)=1 (как и раньше), а g(x)=1+1x2g(x) = 1 + \frac{1}{x^2}g(x)=1+x21​.Снова f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x).Интеграл от f(x)f(x)f(x) расходится (мы это уже знаем).

STEP 9

STEP 10

STEP 11

Если ∫1∞f(x)dx\int_{1}^{\infty} f(x) dx∫1∞​f(x)dx расходится и f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x) для всех x≥1x \geq 1x≥1, то ∫1∞g(x)dx\int_{1}^{\infty} g(x) dx∫1∞​g(x)dx **тоже расходится**.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Анализ условия
2. Пример
3. Вывод

Нам дано, что $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq 1$ .
Это означает, что функция $g(x)$ больше или равна функции $f(x)$ на заданном интервале.

Давайте рассмотрим конкретный пример.
Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 2$ .
Очевидно, что $f(x) \leq g(x)$ .

Рассмотрим другой пример.
Пусть $f(x) = 1$ (как и раньше), а $g(x) = 1 + \frac{1}{x^2}$ .
Снова $f(x) \leq g(x)$ .
Интеграл от $f(x)$ расходится (мы это уже знаем).

Если $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ расходится и $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq 1$ , то $\int_{1}^{\infty} g(x) dx$ тоже расходится.