Question2. If $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1+i & -1+2 i \\ 3+2 i & 2-i\end{array}\right)$ and $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}i & 3 \\ 2 & -2 i\end{array}\right)$, find (a) $\mathbf{A}-2 \mathbf{B}$ (b) $3 \mathrm{~A}+\mathrm{B}$ (c) $\mathbf{A B}$ (d) $\mathbf{B A}$

STEP 1

STEP 2

لإيجاد $\mathbf{A} - 2\mathbf{B}$، نبدأ بحساب $2\mathbf{B}$:
$2\mathbf{B} = 2 \times \left(\begin{array}{cc} i & 3 \\ 2 & -2i \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2i & 6 \\ 4 & -4i \end{array}\right)$
ثم نطرح $2\mathbf{B}$ من $\mathbf{A}$:
$\mathbf{A} - 2\mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 1+i & -1+2i \\ 3+2i & 2-i \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc} 2i & 6 \\ 4 & -4i \end{array}\right)$
نقوم بطرح كل عنصر:
$= \left(\begin{array}{cc} 1+i - 2i & -1+2i - 6 \\ 3+2i - 4 & 2-i + 4i \end{array}\right)$
$= \left(\begin{array}{cc} 1-i & -7+2i \\ -1+2i & 2+3i \end{array}\right)$

STEP 3

لإيجاد $3\mathbf{A} + \mathbf{B}$، نبدأ بحساب $3\mathbf{A}$:
$3\mathbf{A} = 3 \times \left(\begin{array}{cc} 1+i & -1+2i \\ 3+2i & 2-i \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 3+3i & -3+6i \\ 9+6i & 6-3i \end{array}\right)$
ثم نجمع $\mathbf{B}$:
$3\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 3+3i & -3+6i \\ 9+6i & 6-3i \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} i & 3 \\ 2 & -2i \end{array}\right)$
نقوم بجمع كل عنصر:
$= \left(\begin{array}{cc} 3+3i + i & -3+6i + 3 \\ 9+6i + 2 & 6-3i - 2i \end{array}\right)$
$= \left(\begin{array}{cc} 3+4i & 0+6i \\ 11+6i & 6-5i \end{array}\right)$

STEP 4

لحساب $\mathbf{A} \mathbf{B}$، نستخدم ضرب المصفوفات:
$\mathbf{A} \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 1+i & -1+2i \\ 3+2i & 2-i \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc} i & 3 \\ 2 & -2i \end{array}\right)$
نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة:
العنصر الأول في الصف الأول:
$(1+i)i + (-1+2i)2 = i - 1 + 2i^2 = i - 1 - 2 = -3 + i$
العنصر الثاني في الصف الأول:
$(1+i)3 + (-1+2i)(-2i) = 3 + 3i + 2 + 4i = 5 + 7i$
العنصر الأول في الصف الثاني:
$(3+2i)i + (2-i)2 = 3i + 2i^2 + 4 - 2i = 4 + i - 2 = 2 + i$
العنصر الثاني في الصف الثاني:
$(3+2i)3 + (2-i)(-2i) = 9 + 6i - 4i + 2 = 11 + 2i$
المصفوفة الناتجة:
$\mathbf{A} \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} -3+i & 5+7i \\ 2+i & 11+2i \end{array}\right)$

STEP 5

لحساب $\mathbf{B} \mathbf{A}$، نستخدم ضرب المصفوفات:
$\mathbf{B} \mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} i & 3 \\ 2 & -2i \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc} 1+i & -1+2i \\ 3+2i & 2-i \end{array}\right)$
نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة:
العنصر الأول في الصف الأول:
$i(1+i) + 3(3+2i) = i + i^2 + 9 + 6i = -1 + 7i + 9 = 8 + 7i$
العنصر الثاني في الصف الأول:
$i(-1+2i) + 3(2-i) = -i + 2i^2 + 6 - 3i = -2 - 4i + 6 = 4 - 4i$
العنصر الأول في الصف الثاني:
$2(1+i) + (-2i)(3+2i) = 2 + 2i - 6i - 4i^2 = 2 - 4i + 4 = 6 - 4i$
العنصر الثاني في الصف الثاني:
$2(-1+2i) + (-2i)(2-i) = -2 + 4i - 4i + 2i^2 = -2 - 2 = -4$
المصفوفة الناتجة:
$\mathbf{B} \mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} 8+7i & 4-4i \\ 6-4i & -4 \end{array}\right)$
الحل النهائي: (a) $\mathbf{A} - 2\mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 1-i & -7+2i \\ -1+2i & 2+3i \end{array}\right)$
(b) $3\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 3+4i & 0+6i \\ 11+6i & 6-5i \end{array}\right)$
(c) $\mathbf{A} \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} -3+i & 5+7i \\ 2+i & 11+2i \end{array}\right)$
(d) $\mathbf{B} \mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} 8+7i & 4-4i \\ 6-4i & -4 \end{array}\right)$