Math / Algebra

Question2 Ein Betrieb stellt ein Produkt mit den Inputfaktoren $x$ (in ME) und $y$ ( Output soll 1000 ME betragen. Die Faktormengenkombinationen, die zu diesem Output führen, lassen sich mit der Isoquantengleichung $y(x)=\frac{40}{x-2}+3$ beschreiben. Bei einem Kostenbudget in Höhe von 730 GE lautet die Gleichung der Isokostengeraden $y(x)=-10 x+73$ , bei einem Kostenbudget von 550 GE lautet sie $y(x)=-10 x+55$ . a) Untersuchen Sie, ob sich mit diesen Kostenbudgets der angestrebte Output erzielen lässt. Geben Sie ggf. die Kombinationsmengen der Inputfaktoren an. b) Berechnen Sie die Minimalkostenkombination. c) Bestimmen Sie die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden. d) Berechnen Sie, wie hoch das Kostenbudget mindestens sein muss, wenn ein Output von 1000 ME produziert werden soll. e) Erstellen Sie eine Grafik, die Ihre Ergebnisse veranschaulicht. Geben Sie für die Isoquante die Gleichung der Polgeraden und der Asymptote an.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Produktionsfunktion ist durch die Isoquantengleichung y(x) = 40/(x-2) + 3 gegeben.
2. Der angestrebte Output beträgt 1000 ME.
3. Es gibt zwei Kostenbudgets: 730 GE und 550 GE.
4. Die Isokostengeraden sind für beide Budgets gegeben.

STEP 2

1. Untersuchen der Kostenbudgets
2. Berechnung der Minimalkostenkombination
3. Bestimmung der kostenminimalen Isokostengeraden
4. Berechnung des minimalen Kostenbudgets
5. Erstellung einer Grafik und Bestimmung von Polgerade und Asymptote

STEP 3

Wir müssen die Schnittpunkte der Isoquante mit den Isokostengeraden finden. Dazu setzen wir die Gleichungen gleich:
Für 730 GE: $\frac{40}{x-2}+3 = -10x+73$ Für 550 GE: $\frac{40}{x-2}+3 = -10x+55$

STEP 4

Lösen wir zunächst die Gleichung für 730 GE:
$\frac{40}{x-2} = -10x+70$ $40 = (-10x+70)(x-2)$ $40 = -10x^2+90x-140$ $10x^2-90x+180 = 0$
Mit der quadratischen Formel erhalten wir: $x_1 \approx 3.27$ und $x_2 \approx 5.73$
Die entsprechenden y-Werte sind: $y_1 \approx 40.27$ und $y_2 \approx 15.73$

STEP 5

Nun lösen wir die Gleichung für 550 GE:
$\frac{40}{x-2} = -10x+52$ $40 = (-10x+52)(x-2)$ $40 = -10x^2+72x-104$ $10x^2-72x+144 = 0$
Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, da die Diskriminante negativ ist.

STEP 6

Um die Minimalkostenkombination zu finden, müssen wir die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) gleich dem Preisverhältnis setzen:
GRTS: $-\frac{dy}{dx} = \frac{40}{(x-2)^2}$
Preisverhältnis: $\frac{p_x}{p_y} = 10$ (aus der Steigung der Isokostengeraden)
Also: $\frac{40}{(x-2)^2} = 10$

STEP 7

Lösen wir diese Gleichung:
$\sqrt{\frac{40}{10}} = x-2$ $2 = x-2$ $x = 4$
Der zugehörige y-Wert ist: $y = \frac{40}{4-2}+3 = 23$
Die Minimalkostenkombination ist also (4, 23).

STEP 8

Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden lautet:
$y = -10x + b$
Setzen wir den Punkt (4, 23) ein:
$23 = -10(4) + b$ $b = 63$
Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden ist also: $y = -10x + 63$

STEP 9

Das minimale Kostenbudget berechnen wir, indem wir die Minimalkostenkombination in die Isokostengleichung einsetzen:
$K_{min} = 10x + y = 10(4) + 23 = 63$
Das minimale Kostenbudget beträgt also 630 GE.

STEP 10

Für die Grafik benötigen wir die Gleichung der Polgeraden und der Asymptote der Isoquante.
Polgerade: x = 2 (der Nenner der Isoquantengleichung wird Null)
Asymptote: y = 3 (der Grenzwert der Isoquantengleichung für x → ∞)
Zusammenfassung der Ergebnisse: a) Mit dem Kostenbudget von 730 GE lässt sich der angestrebte Output erzielen. Die Kombinationsmengen sind etwa (3.27, 40.27) und (5.73, 15.73). Mit 550 GE ist der Output nicht erreichbar. b) Die Minimalkostenkombination ist (4, 23). c) Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden ist y = -10x + 63. d) Das minimale Kostenbudget beträgt 630 GE. e) Polgerade: x = 2, Asymptote: y = 3

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STEP 1

1. Die Produktionsfunktion ist durch die Isoquantengleichung y(x) = 40/(x-2) + 3 gegeben.
2. Der angestrebte Output beträgt 1000 ME.
3. Es gibt zwei Kostenbudgets: 730 GE und 550 GE.
4. Die Isokostengeraden sind für beide Budgets gegeben.

STEP 2

1. Untersuchen der Kostenbudgets
2. Berechnung der Minimalkostenkombination
3. Bestimmung der kostenminimalen Isokostengeraden
4. Berechnung des minimalen Kostenbudgets
5. Erstellung einer Grafik und Bestimmung von Polgerade und Asymptote

STEP 3

Wir müssen die Schnittpunkte der Isoquante mit den Isokostengeraden finden. Dazu setzen wir die Gleichungen gleich:
Für 730 GE: $\frac{40}{x-2}+3 = -10x+73$ Für 550 GE: $\frac{40}{x-2}+3 = -10x+55$

STEP 4

Lösen wir zunächst die Gleichung für 730 GE:
$\frac{40}{x-2} = -10x+70$ $40 = (-10x+70)(x-2)$ $40 = -10x^2+90x-140$ $10x^2-90x+180 = 0$
Mit der quadratischen Formel erhalten wir: $x_1 \approx 3.27$ und $x_2 \approx 5.73$
Die entsprechenden y-Werte sind: $y_1 \approx 40.27$ und $y_2 \approx 15.73$

STEP 5

Nun lösen wir die Gleichung für 550 GE:
$\frac{40}{x-2} = -10x+52$ $40 = (-10x+52)(x-2)$ $40 = -10x^2+72x-104$ $10x^2-72x+144 = 0$
Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, da die Diskriminante negativ ist.

STEP 6

Um die Minimalkostenkombination zu finden, müssen wir die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) gleich dem Preisverhältnis setzen:
GRTS: $-\frac{dy}{dx} = \frac{40}{(x-2)^2}$
Preisverhältnis: $\frac{p_x}{p_y} = 10$ (aus der Steigung der Isokostengeraden)
Also: $\frac{40}{(x-2)^2} = 10$

STEP 7

Lösen wir diese Gleichung:
$\sqrt{\frac{40}{10}} = x-2$ $2 = x-2$ $x = 4$
Der zugehörige y-Wert ist: $y = \frac{40}{4-2}+3 = 23$
Die Minimalkostenkombination ist also (4, 23).

STEP 8

Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden lautet:
$y = -10x + b$
Setzen wir den Punkt (4, 23) ein:
$23 = -10(4) + b$ $b = 63$
Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden ist also: $y = -10x + 63$

STEP 9

Das minimale Kostenbudget berechnen wir, indem wir die Minimalkostenkombination in die Isokostengleichung einsetzen:
$K_{min} = 10x + y = 10(4) + 23 = 63$
Das minimale Kostenbudget beträgt also 630 GE.

STEP 10

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STEP 1

1. Die Produktionsfunktion ist durch die Isoquantengleichung y(x) = 40/(x-2) + 3 gegeben.2. Der angestrebte Output beträgt 1000 ME.3. Es gibt zwei Kostenbudgets: 730 GE und 550 GE.4. Die Isokostengeraden sind für beide Budgets gegeben.

STEP 2

1. Untersuchen der Kostenbudgets2. Berechnung der Minimalkostenkombination3. Bestimmung der kostenminimalen Isokostengeraden4. Berechnung des minimalen Kostenbudgets5. Erstellung einer Grafik und Bestimmung von Polgerade und Asymptote

STEP 3

Wir müssen die Schnittpunkte der Isoquante mit den Isokostengeraden finden. Dazu setzen wir die Gleichungen gleich:Für 730 GE: 40x−2+3=−10x+73\frac{40}{x-2}+3 = -10x+73x−240​+3=−10x+73 Für 550 GE: 40x−2+3=−10x+55\frac{40}{x-2}+3 = -10x+55x−240​+3=−10x+55

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Lösen wir diese Gleichung:4010=x−2\sqrt{\frac{40}{10}} = x-21040​​=x−2 2=x−22 = x-22=x−2 x=4x = 4x=4Der zugehörige y-Wert ist: y=404−2+3=23y = \frac{40}{4-2}+3 = 23y=4−240​+3=23Die Minimalkostenkombination ist also (4, 23).

STEP 8

Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden lautet:y=−10x+by = -10x + by=−10x+bSetzen wir den Punkt (4, 23) ein:23=−10(4)+b23 = -10(4) + b23=−10(4)+b b=63b = 63b=63Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden ist also: y=−10x+63y = -10x + 63y=−10x+63

STEP 9

Das minimale Kostenbudget berechnen wir, indem wir die Minimalkostenkombination in die Isokostengleichung einsetzen:Kmin=10x+y=10(4)+23=63K_{min} = 10x + y = 10(4) + 23 = 63Kmin​=10x+y=10(4)+23=63Das minimale Kostenbudget beträgt also 630 GE.

STEP 10

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1. Die Produktionsfunktion ist durch die Isoquantengleichung y(x) = 40/(x-2) + 3 gegeben.
2. Der angestrebte Output beträgt 1000 ME.
3. Es gibt zwei Kostenbudgets: 730 GE und 550 GE.
4. Die Isokostengeraden sind für beide Budgets gegeben.

1. Untersuchen der Kostenbudgets
2. Berechnung der Minimalkostenkombination
3. Bestimmung der kostenminimalen Isokostengeraden
4. Berechnung des minimalen Kostenbudgets
5. Erstellung einer Grafik und Bestimmung von Polgerade und Asymptote

Wir müssen die Schnittpunkte der Isoquante mit den Isokostengeraden finden. Dazu setzen wir die Gleichungen gleich:
Für 730 GE: $\frac{40}{x-2}+3 = -10x+73$ Für 550 GE: $\frac{40}{x-2}+3 = -10x+55$

Lösen wir diese Gleichung:
$\sqrt{\frac{40}{10}} = x-2$ $2 = x-2$ $x = 4$
Der zugehörige y-Wert ist: $y = \frac{40}{4-2}+3 = 23$
Die Minimalkostenkombination ist also (4, 23).

Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden lautet:
$y = -10x + b$
Setzen wir den Punkt (4, 23) ein:
$23 = -10(4) + b$ $b = 63$
Die Gleichung der kostenminimalen Isokostengeraden ist also: $y = -10x + 63$

Das minimale Kostenbudget berechnen wir, indem wir die Minimalkostenkombination in die Isokostengleichung einsetzen:
$K_{min} = 10x + y = 10(4) + 23 = 63$
Das minimale Kostenbudget beträgt also 630 GE.