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Math  /  Calculus

Question2-30 Determine si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
3. ∑n=1∞n5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}
4. ∑n=1∞(−1)n−1nn2+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}

Studdy Solution

STEP 1

1. Una serie es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos de sus términos es convergente.
2. Una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no absolutamente convergente.
3. Una serie es divergente si no es convergente.

STEP 2

1. Analizar la convergencia absoluta de la serie ∑n=1∞n5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}.
2. Analizar la convergencia absoluta de la serie ∑n=1∞(−1)n−1nn2+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}.
3. Determinar la convergencia condicional de la serie ∑n=1∞(−1)n−1nn2+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}.

STEP 3

Para la serie ∑n=1∞n5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}, aplicamos la prueba de la razón para determinar la convergencia absoluta.
Calculemos el límite:
lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣n+15n+1n5n∣=lim⁡n→∞n+1n⋅15=15\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{n+1}{5^{n+1}}}{\frac{n}{5^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}
Dado que 15<1\frac{1}{5} < 1, la serie es absolutamente convergente.

STEP 4

Para la serie ∑n=1∞(−1)n−1nn2+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}, primero analizamos la convergencia absoluta.
Consideramos la serie de valores absolutos:
∑n=1∞∣nn2+4∣=∑n=1∞nn2+4\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{n}{n^{2}+4} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+4}
Para determinar la convergencia de esta serie, podemos usar la prueba del término general. Observamos que:
lim⁡n→∞nn2+4=lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2}+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
Sin embargo, esto no es suficiente para la convergencia. Comparando con la serie ∑1n\sum \frac{1}{n}, que es divergente, concluimos que la serie ∑n=1∞nn2+4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+4} también es divergente.

STEP 5

Ahora, analizamos la convergencia condicional de la serie ∑n=1∞(−1)n−1nn2+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}.
Usamos la prueba de Leibniz para series alternantes. Verificamos:
1. bn=nn2+4b_n = \frac{n}{n^{2}+4} es decreciente.
2. lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞nn2+4=0\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2}+4} = 0.
Ambas condiciones se cumplen, por lo tanto, la serie es condicionalmente convergente.
La serie ∑n=1∞n5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}} es absolutamente convergente, y la serie ∑n=1∞(−1)n−1nn2+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4} es condicionalmente convergente.

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