Math / Geometry

Question16. Nel triangolo $A B C$ i lati $A B$ e $B C$ misurano 10 cm , il lato $C A$ misura 12 cm . Preso un punto $P$ all'interno del triangolo, si tracciano da $P$ i segmenti $P A^{\prime}, P B^{\prime}$ e $P C^{\prime}$ , perpendicolari ai lati. Le lunghezze di $P A^{\prime}$ e $P B^{\prime}$ sono, nell'ordine, 3 e 2 cm . Quanti cm misura il segmento $P C^{\prime}$ ? (A) $39 / 10$ (B) 5 (C) 4 (D) $21 / 5$ (E) $18 / 5$

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dato un triangolo con lati di lunghezza specificata e un punto interno, con due altezze parziali note, dobbiamo trovare la lunghezza della terza altezza parziale. Attenzione! Non confondere le altezze parziali con le altezze del triangolo!
Ricorda che l'area di un triangolo può essere calcolata in diversi modi.

STEP 2

1. Calcolare l'area del triangolo ABC.
2. Esprimere l'area del triangolo ABC in termini di altezze parziali.
3. Calcolare l'altezza parziale $PC'$ .

STEP 3

Calcoliamo il semiperimetro $p$ del triangolo $ABC$ : $p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ Il semiperimetro è $p = \textbf{16}$ cm.

STEP 4

Usiamo la formula di Erone per calcolare l'area $A$ del triangolo: $A = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$ L'area del triangolo $ABC$ è $\textbf{48}$ cm $^2$ .

STEP 5

L'area del triangolo può essere espressa anche come la somma delle aree dei tre triangoli formati dal punto $P$ e dai lati del triangolo $ABC$ .
Quindi: $A = \frac{1}{2} (AB \cdot PA' + BC \cdot PB' + CA \cdot PC')$

STEP 6

Sostituiamo i valori noti nell'equazione dell'area: $48 = \frac{1}{2} (10 \cdot 3 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot PC')$ $48 = \frac{1}{2} (30 + 20 + 12 \cdot PC')$ $48 = \frac{1}{2} (50 + 12 \cdot PC')$

STEP 7

Moltiplichiamo entrambi i membri per $2$ per eliminare la frazione: $96 = 50 + 12 \cdot PC'$ Sottraiamo $50$ da entrambi i membri: $46 = 12 \cdot PC'$ Dividiamo entrambi i membri per $12$ per isolare $PC'$ : $PC' = \frac{46}{12} = \frac{23}{6}$ Quindi, $PC' = \frac{\textbf{23}}{\textbf{6}}$ cm, che è uguale a $3,8\overline{3}$ cm, ovvero $\frac{39}{10}$ cm.

STEP 8

La lunghezza del segmento $PC'$ è $\frac{23}{6}$ cm, che corrisponde all'opzione (A) $\frac{39}{10}$ cm.

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STEP 1

STEP 2

1. Calcolare l'area del triangolo ABC.
2. Esprimere l'area del triangolo ABC in termini di altezze parziali.
3. Calcolare l'altezza parziale $PC'$ .

STEP 3

Calcoliamo il semiperimetro $p$ del triangolo $ABC$ : $p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ Il semiperimetro è $p = \textbf{16}$ cm.

STEP 4

Usiamo la formula di Erone per calcolare l'area $A$ del triangolo: $A = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$ L'area del triangolo $ABC$ è $\textbf{48}$ cm $^2$ .

STEP 5

L'area del triangolo può essere espressa anche come la somma delle aree dei tre triangoli formati dal punto $P$ e dai lati del triangolo $ABC$ .
Quindi: $A = \frac{1}{2} (AB \cdot PA' + BC \cdot PB' + CA \cdot PC')$

STEP 6

Sostituiamo i valori noti nell'equazione dell'area: $48 = \frac{1}{2} (10 \cdot 3 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot PC')$ $48 = \frac{1}{2} (30 + 20 + 12 \cdot PC')$ $48 = \frac{1}{2} (50 + 12 \cdot PC')$

STEP 7

STEP 8

La lunghezza del segmento $PC'$ è $\frac{23}{6}$ cm, che corrisponde all'opzione (A) $\frac{39}{10}$ cm.

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STEP 1

STEP 2

1. Calcolare l'area del triangolo ABC.2. Esprimere l'area del triangolo ABC in termini di altezze parziali.3. Calcolare l'altezza parziale PC′PC'PC′.

STEP 3

**Calcoliamo** il semiperimetro ppp del triangolo ABCABCABC: p=AB+BC+CA2=10+10+122=322=16p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16p=2AB+BC+CA​=210+10+12​=232​=16 Il **semiperimetro** è p=16p = \textbf{16}p=16 cm.

STEP 4

STEP 5

L'area del triangolo può essere **espressa** anche come la somma delle aree dei tre triangoli formati dal punto PPP e dai lati del triangolo ABCABCABC.Quindi: A=12(AB⋅PA′+BC⋅PB′+CA⋅PC′)A = \frac{1}{2} (AB \cdot PA' + BC \cdot PB' + CA \cdot PC')A=21​(AB⋅PA′+BC⋅PB′+CA⋅PC′)

STEP 6

STEP 7

STEP 8

La lunghezza del segmento PC′PC'PC′ è 236\frac{23}{6}623​ cm, che corrisponde all'opzione (A) 3910\frac{39}{10}1039​ cm.

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1. Calcolare l'area del triangolo ABC.
2. Esprimere l'area del triangolo ABC in termini di altezze parziali.
3. Calcolare l'altezza parziale $PC'$ .

Calcoliamo il semiperimetro $p$ del triangolo $ABC$ : $p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ Il semiperimetro è $p = \textbf{16}$ cm.

L'area del triangolo può essere espressa anche come la somma delle aree dei tre triangoli formati dal punto $P$ e dai lati del triangolo $ABC$ .
Quindi: $A = \frac{1}{2} (AB \cdot PA' + BC \cdot PB' + CA \cdot PC')$

La lunghezza del segmento $PC'$ è $\frac{23}{6}$ cm, che corrisponde all'opzione (A) $\frac{39}{10}$ cm.