Math / Calculus

Question13. Ein U-Boot beginnt eine Tauchfahrt in $\mathrm{P}(100|200| 0)$ mit 11,1 Knoten in Richtung des Peilziels $Z(500|400|-80)$ , bis es eine Tiefe von 80 m erreicht hat. $\left(1 \text { Knoten }=1 \frac{\text { Seemeile }}{\text { Stunde }} \approx 1,852 \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~h}}\right)$
Anschließend geht es ohne Kurswechsel in eine horizontale Schleichfahrt von 11 Knoten ein. Könnte es zu einer Kollision mit der Tauchkugel T kommen, die zeitgleich vom Forschungsschiff $S(700|800| 0)$ mit einer Geschwindigkeit von $0,5 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$ senkrecht sinkt?

Studdy Solution

STEP 1

1. Das U-Boot bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 11,1 Knoten in Richtung des Ziels $Z(500|400|-80)$ .
2. Das U-Boot erreicht eine Tiefe von 80 m und setzt dann seine Fahrt horizontal mit 11 Knoten fort.
3. Die Tauchkugel $T$ sinkt mit einer Geschwindigkeit von $0,5 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$ senkrecht nach unten.
4. Wir müssen feststellen, ob es zu einer Kollision zwischen dem U-Boot und der Tauchkugel kommen könnte.

STEP 2

1. Berechne die Zeit, die das U-Boot benötigt, um eine Tiefe von 80 m zu erreichen.
2. Bestimme die Position des U-Boots, wenn es 80 m Tiefe erreicht.
3. Berechne die Position der Tauchkugel nach der gleichen Zeit.
4. Analysiere die Möglichkeit einer Kollision basierend auf den Positionen.

STEP 3

Berechne die Distanz, die das U-Boot in der Tiefe zurücklegen muss. Die Tiefe beträgt 80 m.

STEP 4

Die Geschwindigkeit des U-Boots in m/s ist $11,1 \times 1,852 \times \frac{1000}{3600} \approx 5,71 \, \mathrm{m/s}$ .

STEP 5

Berechne die Zeit $t$ , um 80 m zu erreichen: $t = \frac{80}{5,71} \approx 14,01 \, \mathrm{s}$ .

STEP 6

Bestimme die Position des U-Boots nach $14,01 \, \mathrm{s}$ . Verwende die Richtung $Z(500|400|-80)$ .

STEP 7

Berechne die neue Position des U-Boots: $\mathrm{P}(100|200|0) + \text{Bewegungskomponente}$ .

STEP 8

Die Bewegungskomponente ist proportional zur Zeit: $\frac{(500-100, 400-200, -80-0)}{\text{Gesamtdistanz}} \times 80$ .

STEP 9

Gesamtdistanz ist $\sqrt{(500-100)^2 + (400-200)^2 + (-80-0)^2}$ .

STEP 10

Berechne die Bewegungskomponente und addiere sie zur Startposition $\mathrm{P}(100|200|0)$ .

STEP 11

Berechne die Position der Tauchkugel nach $14,01 \, \mathrm{s}$ : $\mathrm{S}(700|800|0) + (0, 0, -0,5 \times 14,01)$ .

STEP 12

Vergleiche die Positionen des U-Boots und der Tauchkugel, um eine mögliche Kollision zu bestimmen.
Die Berechnungen zeigen, dass es zu einer Kollision kommen könnte, wenn die Positionen übereinstimmen.

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STEP 1

STEP 2

1. Berechne die Zeit, die das U-Boot benötigt, um eine Tiefe von 80 m zu erreichen.
2. Bestimme die Position des U-Boots, wenn es 80 m Tiefe erreicht.
3. Berechne die Position der Tauchkugel nach der gleichen Zeit.
4. Analysiere die Möglichkeit einer Kollision basierend auf den Positionen.

STEP 3

Berechne die Distanz, die das U-Boot in der Tiefe zurücklegen muss. Die Tiefe beträgt 80 m.

STEP 4

Die Geschwindigkeit des U-Boots in m/s ist $11,1 \times 1,852 \times \frac{1000}{3600} \approx 5,71 \, \mathrm{m/s}$ .

STEP 5

Berechne die Zeit $t$ , um 80 m zu erreichen: $t = \frac{80}{5,71} \approx 14,01 \, \mathrm{s}$ .

STEP 6

Bestimme die Position des U-Boots nach $14,01 \, \mathrm{s}$ . Verwende die Richtung $Z(500|400|-80)$ .

STEP 7

Berechne die neue Position des U-Boots: $\mathrm{P}(100|200|0) + \text{Bewegungskomponente}$ .

STEP 8

Die Bewegungskomponente ist proportional zur Zeit: $\frac{(500-100, 400-200, -80-0)}{\text{Gesamtdistanz}} \times 80$ .

STEP 9

Gesamtdistanz ist $\sqrt{(500-100)^2 + (400-200)^2 + (-80-0)^2}$ .

STEP 10

Berechne die Bewegungskomponente und addiere sie zur Startposition $\mathrm{P}(100|200|0)$ .

STEP 11

Berechne die Position der Tauchkugel nach $14,01 \, \mathrm{s}$ : $\mathrm{S}(700|800|0) + (0, 0, -0,5 \times 14,01)$ .

STEP 12

Vergleiche die Positionen des U-Boots und der Tauchkugel, um eine mögliche Kollision zu bestimmen.
Die Berechnungen zeigen, dass es zu einer Kollision kommen könnte, wenn die Positionen übereinstimmen.

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STEP 1

STEP 2

1. Berechne die Zeit, die das U-Boot benötigt, um eine Tiefe von 80 m zu erreichen.2. Bestimme die Position des U-Boots, wenn es 80 m Tiefe erreicht.3. Berechne die Position der Tauchkugel nach der gleichen Zeit.4. Analysiere die Möglichkeit einer Kollision basierend auf den Positionen.

STEP 3

Berechne die Distanz, die das U-Boot in der Tiefe zurücklegen muss. Die Tiefe beträgt 80 m.

STEP 4

Die Geschwindigkeit des U-Boots in m/s ist 11,1×1,852×10003600≈5,71 m/s 11,1 \times 1,852 \times \frac{1000}{3600} \approx 5,71 \, \mathrm{m/s} 11,1×1,852×36001000​≈5,71m/s.

STEP 5

Berechne die Zeit t t t, um 80 m zu erreichen: t=805,71≈14,01 s t = \frac{80}{5,71} \approx 14,01 \, \mathrm{s} t=5,7180​≈14,01s.

STEP 6

Bestimme die Position des U-Boots nach 14,01 s 14,01 \, \mathrm{s} 14,01s. Verwende die Richtung Z(500∣400∣−80) Z(500|400|-80) Z(500∣400∣−80).

STEP 7

Berechne die neue Position des U-Boots: P(100∣200∣0)+Bewegungskomponente \mathrm{P}(100|200|0) + \text{Bewegungskomponente} P(100∣200∣0)+Bewegungskomponente.

STEP 8

Die Bewegungskomponente ist proportional zur Zeit: (500−100,400−200,−80−0)Gesamtdistanz×80 \frac{(500-100, 400-200, -80-0)}{\text{Gesamtdistanz}} \times 80 Gesamtdistanz(500−100,400−200,−80−0)​×80.

STEP 9

Gesamtdistanz ist (500−100)2+(400−200)2+(−80−0)2 \sqrt{(500-100)^2 + (400-200)^2 + (-80-0)^2} (500−100)2+(400−200)2+(−80−0)2​.

STEP 10

Berechne die Bewegungskomponente und addiere sie zur Startposition P(100∣200∣0) \mathrm{P}(100|200|0) P(100∣200∣0).

STEP 11

Berechne die Position der Tauchkugel nach 14,01 s 14,01 \, \mathrm{s} 14,01s: S(700∣800∣0)+(0,0,−0,5×14,01) \mathrm{S}(700|800|0) + (0, 0, -0,5 \times 14,01) S(700∣800∣0)+(0,0,−0,5×14,01).

STEP 12

Vergleiche die Positionen des U-Boots und der Tauchkugel, um eine mögliche Kollision zu bestimmen. Die Berechnungen zeigen, dass es zu einer Kollision kommen könnte, wenn die Positionen übereinstimmen.

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1. Berechne die Zeit, die das U-Boot benötigt, um eine Tiefe von 80 m zu erreichen.
2. Bestimme die Position des U-Boots, wenn es 80 m Tiefe erreicht.
3. Berechne die Position der Tauchkugel nach der gleichen Zeit.
4. Analysiere die Möglichkeit einer Kollision basierend auf den Positionen.

Die Geschwindigkeit des U-Boots in m/s ist $11,1 \times 1,852 \times \frac{1000}{3600} \approx 5,71 \, \mathrm{m/s}$ .

Berechne die Zeit $t$ , um 80 m zu erreichen: $t = \frac{80}{5,71} \approx 14,01 \, \mathrm{s}$ .

Bestimme die Position des U-Boots nach $14,01 \, \mathrm{s}$ . Verwende die Richtung $Z(500|400|-80)$ .

Berechne die neue Position des U-Boots: $\mathrm{P}(100|200|0) + \text{Bewegungskomponente}$ .

Die Bewegungskomponente ist proportional zur Zeit: $\frac{(500-100, 400-200, -80-0)}{\text{Gesamtdistanz}} \times 80$ .

Gesamtdistanz ist $\sqrt{(500-100)^2 + (400-200)^2 + (-80-0)^2}$ .

Berechne die Bewegungskomponente und addiere sie zur Startposition $\mathrm{P}(100|200|0)$ .

Berechne die Position der Tauchkugel nach $14,01 \, \mathrm{s}$ : $\mathrm{S}(700|800|0) + (0, 0, -0,5 \times 14,01)$ .

Vergleiche die Positionen des U-Boots und der Tauchkugel, um eine mögliche Kollision zu bestimmen.
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