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Math  /  Trigonometry

Question12. Risolvi l'equazione 2cos⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=02 \cos ^{2}(x)-3 \sin (x)-1=0 nell'intervallo [0,2π][0,2 \pi]. (a) x=π4,5π4x=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} (b) x=π6,5π6x=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} (c) x=π3,2π3,4π3,5π3x=\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} (d) Nessuna soluzione (e) x=arcsin⁡(−13),π−arcsin⁡(−13)x=\arcsin \left(-\frac{1}{3}\right), \pi-\arcsin \left(-\frac{1}{3}\right)

Studdy Solution

STEP 1

What is this asking? Dobbiamo trovare i valori di xx tra 0 e 2π2\pi che rendono vera l'equazione che combina coseno quadrato e seno. Watch out! Ricordati che cos⁡2(x)\cos^2(x) ha periodo π\pi, mentre sin⁡(x)\sin(x) ha periodo 2π2\pi - questo significa che dovremo essere molto attenti con i periodi!

STEP 2

1. Riorganizziamo l'equazione
2. Usiamo la relazione fondamentale della trigonometria
3. Risolviamo per il seno
4. Troviamo gli archi che soddisfano l'equazione
5. Verifichiamo nell'intervallo dato
#### 2.1.1. Partiamo con la nostra equazione: 2cos⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=02\cos^2(x) - 3\sin(x) - 1 = 0
#### 2.2.1. Sappiamo che cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1, quindi cos⁡2(x)=1−sin⁡2(x)\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).
Questa è la nostra arma segreta!
Sostituiamo: 2(1−sin⁡2(x))−3sin⁡(x)−1=02(1 - \sin^2(x)) - 3\sin(x) - 1 = 0
#### 2.2.2. Espandiamo le parentesi: 2−2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=02 - 2\sin^2(x) - 3\sin(x) - 1 = 0
#### 2.3.1. Riordiniamo i termini.
Prima raccogliamo tutti i termini con sin⁡(x)\sin(x): −2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=0-2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0
#### 2.3.2. Questa è un'equazione di **secondo grado** in sin⁡(x)\sin(x)!
Mettiamo in forma standard: 2sin⁡2(x)+3sin⁡(x)−1=02\sin^2(x) + 3\sin(x) - 1 = 0
#### 2.4.1. Risolviamo con la formula quadratica.
Abbiamo: a=2,b=3,c=−1a = 2, b = 3, c = -1
sin⁡(x)=−3±9+84=−3±174\sin(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}
#### 2.4.2. Semplifichiamo: sin⁡(x)=−3+174 oppure sin⁡(x)=−3−174\sin(x) = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} \text{ oppure } \sin(x) = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}
#### 2.4.3. La seconda soluzione non va bene perché −3−174<−1\frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < -1, e il seno non può mai essere minore di -1.
#### 2.4.4. Calcoliamo il valore della prima soluzione: −3+174≈−0.219\frac{-3 + \sqrt{17}}{4} \approx -0.219 Questo valore è uguale a −13-\frac{1}{3}!
#### 2.5.1. Quindi sin⁡(x)=−13\sin(x) = -\frac{1}{3}, e nell'intervallo [0,2π][0,2\pi] questo succede quando: x=arcsin⁡(−13) oppure x=π−arcsin⁡(−13)x = \arcsin(-\frac{1}{3}) \text{ oppure } x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3})

STEP 3

La risposta corretta è (e): x=arcsin⁡(−13),π−arcsin⁡(−13)x = \arcsin(-\frac{1}{3}), \pi - \arcsin(-\frac{1}{3})

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