Math  /  Calculus

Question-108 Una pallina attaccata a una molla si muove di moto armonicearon ampiezza pari a 22 cm . In 15 s si possono conta eboscillazioni - Quali sono i valori massimo e minimo del modulo dell'accelerazione della pallina? - Qual è la sua velocità media tra gli istanti di tempo corrispondenti al minimo e al massimo valore del modulo dell'accelerazione? - La pallina si muove ora con una frequenza tripla. Calcola il valore della velocità massima.

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dobbiamo scoprire l'accelerazione massima e minima di una pallina attaccata ad una molla, la sua velocità media tra questi due punti e la nuova velocità massima se la frequenza triplica. Attenzione! Non confondere frequenza e periodo!
E ricorda che la velocità media non è semplicemente la velocità massima divisa per due!

STEP 2

1. Calcolare periodo e frequenza
2. Calcolare la velocità angolare
3. Calcolare l'accelerazione massima e minima
4. Calcolare la velocità media
5. Calcolare la nuova velocità massima

STEP 3

Sappiamo che la pallina compie 80\text{80} oscillazioni in 15 s\text{15 s}.
Questo significa che il **periodo** TT, ovvero il tempo per una singola oscillazione, è dato da: T=15 s80 oscillazioni=0.1875 sT = \frac{\text{15 s}}{\text{80 oscillazioni}} = \text{0.1875 s}

STEP 4

La **frequenza** ff, ovvero il numero di oscillazioni al secondo, è l'inverso del periodo: f=1T=10.1875 s5.33 Hzf = \frac{1}{T} = \frac{1}{\text{0.1875 s}} \approx \text{5.33 Hz} Fantastico!

STEP 5

La **velocità angolare** ω\omega è legata alla frequenza dalla formula: ω=2πf\omega = 2\cdot\pi\cdot f Quindi, sostituendo la frequenza che abbiamo appena calcolato: ω=2π5.33 Hz33.5 rad/s\omega = 2\cdot\pi\cdot\text{5.33 Hz} \approx \text{33.5 rad/s}

STEP 6

L'accelerazione in un moto armonico semplice è data da a=ω2xa = -\omega^2 \cdot x, dove xx è lo spostamento dalla posizione di equilibrio.

STEP 7

L'**accelerazione massima** si ha quando la pallina è al punto di massima estensione, ovvero quando x=0.22 mx = \text{0.22 m} (l'ampiezza).
Quindi: amax=ω2xmax=(33.5 rad/s)20.22 m246 m/s2a_{\text{max}} = \omega^2\cdot x_{\text{max}} = (\text{33.5 rad/s})^2 \cdot \text{0.22 m} \approx \text{246 m/s}^2

STEP 8

L'**accelerazione minima**, in modulo, è **zero**, e si verifica quando la pallina passa per la posizione di equilibrio.

STEP 9

La velocità massima si ha quando l'accelerazione è zero (posizione di equilibrio), e la velocità è zero quando l'accelerazione è massima (punto di massima estensione).
La **velocità massima** è data da vmax=ωxmaxv_{\text{max}} = \omega\cdot x_{\text{max}}.

STEP 10

Il tempo che intercorre tra il minimo e il massimo valore del modulo dell'accelerazione è un quarto del periodo, quindi T4\frac{T}{4}.

STEP 11

La **velocità media** tra questi due punti è data dallo spostamento diviso il tempo: vmedia=0.22 m0.1875 s44.69 m/sv_{\text{media}} = \frac{\text{0.22 m}}{\frac{\text{0.1875 s}}{4}} \approx \text{4.69 m/s}

STEP 12

Se la frequenza triplica, anche la velocità angolare triplica, diventando ω=3ω100.5 rad/s\omega' = 3\cdot\omega \approx \text{100.5 rad/s}.

STEP 13

La nuova **velocità massima** sarà: vmax=ωxmax=100.5 rad/s0.22 m22.1 m/sv'_{\text{max}} = \omega'\cdot x_{\text{max}} = \text{100.5 rad/s} \cdot \text{0.22 m} \approx \text{22.1 m/s}

STEP 14

L'accelerazione massima è 246 m/s2\text{246 m/s}^2 e quella minima è 0 m/s2\text{0 m/s}^2.
La velocità media tra questi due punti è 4.69 m/s\text{4.69 m/s}.
Se la frequenza triplica, la nuova velocità massima sarà 22.1 m/s\text{22.1 m/s}.

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