Math / Data & Statistics

Question1 Aus der Prüfstatistik eines Kugelschreiberherstellers geht hervor, dass $3\%$ der produzierten Kugelschreiber defekt sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a) ist von 15 Kugelschreibern keiner defekt, b) sind von 25 Kugelschreibern mindestens zwei defekt, c) sind von 50 Kugelschreibern höchstens zwei defekt, d) beträgt die Anzahl von defekten bei 100 Kugelschreibern mindestens 2 und höchstens 4? P bestimmen, entscheiden

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine bestimmte Anzahl von Kugelschreibern defekt ist, wenn wir wissen, dass 3% aller Kugelschreiber defekt sind. Achtung! Wir müssen zwischen "mindestens", "höchstens" und "genau" unterscheiden und die richtigen Formeln verwenden!

STEP 2

1. Kein defekter Kugelschreiber
2. Mindestens zwei defekte Kugelschreiber
3. Höchstens zwei defekte Kugelschreiber
4. Zwischen zwei und vier defekte Kugelschreiber

STEP 3

Wir haben $\textbf{15}$ Kugelschreiber und die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber defekt ist, beträgt $p = \textbf{0.03}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber nicht defekt ist, ist $1 - p = 1 - 0.03 = \textbf{0.97}$ .

STEP 4

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist.
Das bedeutet, alle 15 Kugelschreiber sind nicht defekt.
Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber nicht defekt ist, 15 mal mit sich selbst.

STEP 5

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist, ist: $P(X=0) = (1 - p)^{15} = (0.97)^{15} \approx \textbf{0.633}$

STEP 6

Wir haben $\textbf{25}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei defekt sind.
Das ist $1$ minus der Wahrscheinlichkeit, dass keiner oder nur einer defekt ist.

STEP 7

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner defekt ist: $P(X=0) = (0.97)^{25} \approx 0.467$ Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer defekt ist: $P(X=1) = \binom{25}{1} \cdot (0.03)^1 \cdot (0.97)^{24} \approx 0.365$

STEP 8

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind: $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.467 - 0.365 \approx \textbf{0.168}$

STEP 9

Wir haben $\textbf{50}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens zwei defekt sind.
Das heißt, 0, 1 oder 2 sind defekt.

STEP 10

$P(X=0) = (0.97)^{50} \approx 0.218$ $P(X=1) = \binom{50}{1} \cdot (0.03)^1 \cdot (0.97)^{49} \approx 0.337$ $P(X=2) = \binom{50}{2} \cdot (0.03)^2 \cdot (0.97)^{48} \approx 0.256$

STEP 11

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.218 + 0.337 + 0.256 \approx \textbf{0.811}$

STEP 12

Wir haben $\textbf{100}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei und höchstens vier defekt sind.

STEP 13

$P(X=2) = \binom{100}{2} \cdot (0.03)^2 \cdot (0.97)^{98} \approx 0.225$ $P(X=3) = \binom{100}{3} \cdot (0.03)^3 \cdot (0.97)^{97} \approx 0.227$ $P(X=4) = \binom{100}{4} \cdot (0.03)^4 \cdot (0.97)^{96} \approx 0.170$

STEP 14

$P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.225 + 0.227 + 0.170 \approx \textbf{0.622}$

STEP 15

a) $0.633$ b) $0.168$ c) $0.811$ d) $0.622$

Was this helpful?

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STEP 1

Was ist das? Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine bestimmte Anzahl von Kugelschreibern defekt ist, wenn wir wissen, dass 3% aller Kugelschreiber defekt sind. Achtung! Wir müssen zwischen "mindestens", "höchstens" und "genau" unterscheiden und die richtigen Formeln verwenden!

STEP 2

1. Kein defekter Kugelschreiber
2. Mindestens zwei defekte Kugelschreiber
3. Höchstens zwei defekte Kugelschreiber
4. Zwischen zwei und vier defekte Kugelschreiber

STEP 3

Wir haben $\textbf{15}$ Kugelschreiber und die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber defekt ist, beträgt $p = \textbf{0.03}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber nicht defekt ist, ist $1 - p = 1 - 0.03 = \textbf{0.97}$ .

STEP 4

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist.
Das bedeutet, alle 15 Kugelschreiber sind nicht defekt.
Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber nicht defekt ist, 15 mal mit sich selbst.

STEP 5

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist, ist: $P(X=0) = (1 - p)^{15} = (0.97)^{15} \approx \textbf{0.633}$

STEP 6

Wir haben $\textbf{25}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei defekt sind.
Das ist $1$ minus der Wahrscheinlichkeit, dass keiner oder nur einer defekt ist.

STEP 7

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner defekt ist: $P(X=0) = (0.97)^{25} \approx 0.467$ Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer defekt ist: $P(X=1) = \binom{25}{1} \cdot (0.03)^1 \cdot (0.97)^{24} \approx 0.365$

STEP 8

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind: $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.467 - 0.365 \approx \textbf{0.168}$

STEP 9

Wir haben $\textbf{50}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens zwei defekt sind.
Das heißt, 0, 1 oder 2 sind defekt.

STEP 10

$P(X=0) = (0.97)^{50} \approx 0.218$ $P(X=1) = \binom{50}{1} \cdot (0.03)^1 \cdot (0.97)^{49} \approx 0.337$ $P(X=2) = \binom{50}{2} \cdot (0.03)^2 \cdot (0.97)^{48} \approx 0.256$

STEP 11

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.218 + 0.337 + 0.256 \approx \textbf{0.811}$

STEP 12

Wir haben $\textbf{100}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei und höchstens vier defekt sind.

STEP 13

$P(X=2) = \binom{100}{2} \cdot (0.03)^2 \cdot (0.97)^{98} \approx 0.225$ $P(X=3) = \binom{100}{3} \cdot (0.03)^3 \cdot (0.97)^{97} \approx 0.227$ $P(X=4) = \binom{100}{4} \cdot (0.03)^4 \cdot (0.97)^{96} \approx 0.170$

STEP 14

$P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.225 + 0.227 + 0.170 \approx \textbf{0.622}$

STEP 15

a) $0.633$ b) $0.168$ c) $0.811$ d) $0.622$

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STEP 1

Was ist das? Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine bestimmte Anzahl von Kugelschreibern defekt ist, wenn wir wissen, dass 3% aller Kugelschreiber defekt sind. Achtung! Wir müssen zwischen "mindestens", "höchstens" und "genau" unterscheiden und die richtigen Formeln verwenden!

STEP 2

1. Kein defekter Kugelschreiber2. Mindestens zwei defekte Kugelschreiber3. Höchstens zwei defekte Kugelschreiber4. Zwischen zwei und vier defekte Kugelschreiber

STEP 3

Wir haben 15\textbf{15}15 Kugelschreiber und die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber defekt ist, beträgt p=0.03p = \textbf{0.03}p=0.03.Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber **nicht** defekt ist, ist 1−p=1−0.03=0.971 - p = 1 - 0.03 = \textbf{0.97}1−p=1−0.03=0.97.

STEP 4

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass **keiner** der 15 Kugelschreiber defekt ist.Das bedeutet, alle 15 Kugelschreiber sind nicht defekt.Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber nicht defekt ist, 15 mal mit sich selbst.

STEP 5

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist, ist: P(X=0)=(1−p)15=(0.97)15≈0.633P(X=0) = (1 - p)^{15} = (0.97)^{15} \approx \textbf{0.633}P(X=0)=(1−p)15=(0.97)15≈0.633

STEP 6

Wir haben 25\textbf{25}25 Kugelschreiber.Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass **mindestens zwei** defekt sind.Das ist 111 minus der Wahrscheinlichkeit, dass **keiner oder nur einer** defekt ist.

STEP 7

STEP 8

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind: P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−0.467−0.365≈0.168P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.467 - 0.365 \approx \textbf{0.168}P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−0.467−0.365≈0.168

STEP 9

Wir haben 50\textbf{50}50 Kugelschreiber.Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass **höchstens zwei** defekt sind.Das heißt, 0, 1 oder 2 sind defekt.

STEP 10

STEP 11

P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.218+0.337+0.256≈0.811P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.218 + 0.337 + 0.256 \approx \textbf{0.811}P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.218+0.337+0.256≈0.811

STEP 12

Wir haben 100\textbf{100}100 Kugelschreiber.Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei und höchstens vier defekt sind.

STEP 13

STEP 14

P(2≤X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.225+0.227+0.170≈0.622P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.225 + 0.227 + 0.170 \approx \textbf{0.622}P(2≤X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.225+0.227+0.170≈0.622

STEP 15

a) 0.6330.6330.633 b) 0.1680.1680.168 c) 0.8110.8110.811 d) 0.6220.6220.622

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1. Kein defekter Kugelschreiber
2. Mindestens zwei defekte Kugelschreiber
3. Höchstens zwei defekte Kugelschreiber
4. Zwischen zwei und vier defekte Kugelschreiber

Wir haben $\textbf{15}$ Kugelschreiber und die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber defekt ist, beträgt $p = \textbf{0.03}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber nicht defekt ist, ist $1 - p = 1 - 0.03 = \textbf{0.97}$ .

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist.
Das bedeutet, alle 15 Kugelschreiber sind nicht defekt.
Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kugelschreiber nicht defekt ist, 15 mal mit sich selbst.

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 15 Kugelschreiber defekt ist, ist: $P(X=0) = (1 - p)^{15} = (0.97)^{15} \approx \textbf{0.633}$

Wir haben $\textbf{25}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei defekt sind.
Das ist $1$ minus der Wahrscheinlichkeit, dass keiner oder nur einer defekt ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind: $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.467 - 0.365 \approx \textbf{0.168}$

Wir haben $\textbf{50}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens zwei defekt sind.
Das heißt, 0, 1 oder 2 sind defekt.

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.218 + 0.337 + 0.256 \approx \textbf{0.811}$

Wir haben $\textbf{100}$ Kugelschreiber.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens zwei und höchstens vier defekt sind.

$P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.225 + 0.227 + 0.170 \approx \textbf{0.622}$

a) $0.633$ b) $0.168$ c) $0.811$ d) $0.622$