Math  /  Calculus

Question(1) ガウスの法則の微分形から、ポアソンの方程式を導出せよ。
なお、電界は時間的に変化しない静電界とする。適宜、以下の等式を利用すること。 (a) ガウスの法則の微分形 divE=ρϵ0E:\operatorname{div} \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \quad \boldsymbol{E}: 電界、 ρ\rho : 電荷密度 (b) 電位 VV と電界 E\boldsymbol{E} の関係式 E=gradV\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad} V (2)位置 xx における電位が V(x)=V0(xd1)2V(x)=-V_{0}\left(\frac{x}{d}-1\right)^{2} 、( dd : 定数)のとき、ポアソンの方程式から電荷密度 ρ\rho を求めよ。ただし、誘電率を ε0\varepsilon_{0} とする。
なお、ポアソンの方程式は、 div(gradV)=(V)=(2Vx2+2Vy2+2Vy2)=ρϵ0\operatorname{div}(\operatorname{grad} V)=\boldsymbol{\nabla} \cdot(\boldsymbol{\nabla} V)=\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\right)=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} である。 また、 xx のみが VV の変数である場合 div(gradV)=(V)=(2Vx2)=ρϵ0\operatorname{div}(\operatorname{grad} V)=\boldsymbol{\nabla} \cdot(\boldsymbol{\nabla} V)=\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}\right)=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} である。

Studdy Solution

STEP 1

1. 電界は静電界であり、時間的に変化しない。
2. ガウスの法則の微分形と電位と電界の関係式を用いる。
3. ポアソンの方程式を導出し、与えられた電位から電荷密度を求める。

STEP 2

1. ガウスの法則の微分形からポアソンの方程式を導出する。
2. 与えられた電位からポアソンの方程式を用いて電荷密度を求める。

STEP 3

ガウスの法則の微分形を用いて、電界 E\boldsymbol{E} を電位 VV で表現するために、次の関係式を使用する:
divE=ρϵ0\operatorname{div} \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}
電界 E\boldsymbol{E} と電位 VV の関係式は次の通り:
E=gradV\boldsymbol{E} = -\operatorname{grad} V
これをガウスの法則に代入すると:
div(gradV)=ρϵ0\operatorname{div}(-\operatorname{grad} V) = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}
したがって、ポアソンの方程式は次のように導出される:
div(gradV)=ρϵ0\operatorname{div}(\operatorname{grad} V) = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}

STEP 4

与えられた電位 V(x)=V0(xd1)2 V(x) = -V_{0}\left(\frac{x}{d} - 1\right)^{2} を用いて、ポアソンの方程式から電荷密度 ρ\rho を求める。
まず、電位の2階微分を計算する:
V(x)=V0(xd1)2V(x) = -V_{0}\left(\frac{x}{d} - 1\right)^{2}
Vx=V02(xd1)1d\frac{\partial V}{\partial x} = -V_{0} \cdot 2 \left(\frac{x}{d} - 1\right) \cdot \frac{1}{d}
2Vx2=V021d1d=2V0d2\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} = -V_{0} \cdot 2 \cdot \frac{1}{d} \cdot \frac{1}{d} = -\frac{2V_{0}}{d^2}
ポアソンの方程式に代入すると:
2Vx2=ρϵ0\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
2V0d2=ρϵ0-\frac{2V_{0}}{d^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
したがって、電荷密度 ρ\rho は次のように求められる:
ρ=2V0ϵ0d2\rho = \frac{2V_{0}\epsilon_{0}}{d^2}
電荷密度 ρ\rho は次の通りです:
2V0ϵ0d2\boxed{\frac{2V_{0}\epsilon_{0}}{d^2}}

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