QuestionZADANIE 5 Wyznacz pole obszaru ograniczonego krzywą: $f(x)=\sqrt{x-1}$ oraz prostymi $x=10 ; y=1$ $$\begin{aligned} f(x) & =\sqrt{x-1} \quad x=10 \quad y=1 \\ 1 & =\left.\sqrt{x-1}\right|^{2} \\ 1 & =|x-1| \end{aligned}$$

Studdy Solution
Oblicz pole obszaru za pomocą całki oznaczonej.
Pole obszaru to: $$\int_{2}^{10} (\sqrt{x-1} - 1) \, dx$$
Rozdziel całkę: $$\int_{2}^{10} \sqrt{x-1} \, dx - \int_{2}^{10} 1 \, dx$$
Oblicz pierwszą całkę: Podstawienie $u = x-1$, wtedy $du = dx$ i zmieniając granice całkowania: dla $x = 2$, $u = 1$; dla $x = 10$, $u = 9$.
$$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{9}$$ $$= \frac{2}{3} (9^{3/2} - 1^{3/2})$$ $$= \frac{2}{3} (27 - 1)$$ $$= \frac{2}{3} \times 26$$ $$= \frac{52}{3}$$
Oblicz drugą całkę: $$\int_{2}^{10} 1 \, dx = [x]_{2}^{10} = 10 - 2 = 8$$
Pole obszaru: $$\frac{52}{3} - 8 = \frac{52}{3} - \frac{24}{3} = \frac{28}{3}$$
Pole obszaru ograniczonego to:
$$\boxed{\frac{28}{3}}$$