Math  /  Geometry

QuestionHilfsmittelteil (erlaubte Hilfsmittel: graphikfähiger Taschenrechner, Formelsammlung) Aufgabe 4: (37 Punkte) Die Abbildung zeigt den Würfel ABCDEFGH mit G(555)\mathrm{G}(5|5| 5) und H(055)\mathrm{H}(0|5| 5) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Punkte I(5|0|1), J(2|5|0), K(052)\mathrm{K}(0|5| 2) und L(105)L(1|0| 5) liegen jeweils auf einer Kante des Würfels.
8 多 (2P) - AA - e) Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei Seiten gleich lang sind. Weisen Sie nach, dass die Seite L\overline{\mathrm{L}} des Trapezes doppelt so lang ist wie die Seite JK. (7P) f) Berechnen Sie die Größe eines Innenwinkels des Trapezes IJKL. (6P) (4P)
Der Punkt P (4|0|2) liegt auf der Strecke IL\overline{\mathrm{IL}}. Die Strecke JP\overline{\mathrm{JP}} steht dabei senkrecht zur Strecke IL\overline{\mathrm{IL}}. g) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes IJKL. (5P) h) Gegeben ist die Ebene S:x=v(155)+w(551)S: \vec{x}=v \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ -5 \\ 5\end{array}\right)+w \cdot\left(\begin{array}{c}-5 \\ 5 \\ 1\end{array}\right) mit v,wRv, w \in \mathbb{R}.
Der Punkt K liegt in einer Ebene T, die parallel zu S ist. Untersuchen Sie, ob auch der Punkt L in T liegt. (5P)

Studdy Solution
Um zu untersuchen, ob L in der Ebene T liegt, die parallel zu S ist, müssen wir prüfen, ob der Vektor KL parallel zur Ebene S ist:
KL=(153) \vec{KL} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}
Die Normalenvektor von S ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
n=(155)×(551)=(302420) \vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 \\ -24 \\ -20 \end{pmatrix}
Wenn KL \vec{KL} parallel zu S ist, muss es senkrecht zu n \vec{n} sein:
KLn=1(30)+(5)(24)+3(20)=30+12060=300 \vec{KL} \cdot \vec{n} = 1(-30) + (-5)(-24) + 3(-20) = -30 + 120 - 60 = 30 \neq 0
Da das Skalarprodukt nicht 0 ist, ist KL \vec{KL} nicht parallel zu S. Daher liegt L nicht in der Ebene T.

View Full Solution - Free
Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord