Math  /  Calculus

Question```latex \textbf{Flüssigkeiten bei einem Produktionsprozess}
In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt und anschließend abgekühlt. Der Temperaturverlauf kann gezielt gesteuert werden, sodass er sich für den gesamten Erhitzungs- bzw. Abkühlungsvorgang für t0t \geq 0 durch eine der in R\mathbf{R} definierten Funktionen fkf_{k} mit fk(t)=23+20te110ktf_{k}(t)=23+20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10} \cdot k \cdot t}, wobei kk eine positive, reelle Zahl sein soll, beschreiben lässt. Dabei ist tt die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und fk(t)f_{k}(t) die Temperatur in C{ }^{\circ} C.
\begin{enumerate} \item[a)] Die in Abbildung 1 dargestellten Graphen A,BA, B und CC gehören jeweils zu einem der Werte k=0,5;k=2k=0,5; k=2 und k=5k=5. Ordnen Sie jedem dieser Werte den zugehörigen Graphen zu. \item[b)] Begründen Sie, dass der in Abbildung 1 dargestellte Graph DD nicht zu einer der Funktionen fkf_{k} gehören kann. \item[c)] Zeigen Sie, dass gilt fk(t)=20e110kt(1110kt)f_{k}^{\prime}(t)=20 \cdot e^{-\frac{1}{10} \cdot k \cdot t} \cdot\left(1-\frac{1}{10} \cdot k \cdot t\right) \item[d)] Ermitteln Sie denjenigen Wert von kk, für den die Flüssigkeit im Modell eine Höchsttemperatur von 123C123^{\circ} \mathrm{C} erreicht. \item[e)] Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f10f_{10}. Interpretieren Sie anschließend die Bedeutung der x-Koordinate dieses Wendepunkts des Graphen von f10f_{10} im Sachzusammenhang. \item[f)] Der in der Abbildung 2 dargestellte Graph gibt für einen gesteuerten Temperaturverlauf die Änderungsrate der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit an, die seit Beginn des Vorgangs vergangen ist. Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Änderung der Temperatur in den ersten vier Minuten nach Beginn des Vorganges und geben Sie an, ob die Temperatur zu- oder abnimmt. \item[g)] Skizzieren Sie für die ersten zwölf Minuten des in Abbildung 2 dargestellten Vorgangs den Graphen eines möglichen Temperaturverlaufs. \end{enumerate}
\textit{Abbildung 1}
\textit{Abbildung 2} ```

Studdy Solution
Skizzieren Sie einen möglichen Temperaturverlauf basierend auf den Informationen aus Abbildung 2 und den vorherigen Berechnungen.

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