QuestionDimostrare che $\forall n \geq 0,11$ divide $9^{n+1}+2^{6 n+1}$

Studdy Solution
Dimostriamo che la proposizione è vera per $n = k+1$.
Dobbiamo dimostrare che $11$ divide $9^{(k+1)+1} + 2^{6(k+1)+1}$.
Calcoliamo:
$$9^{k+2} + 2^{6k+7} = 9 \cdot 9^{k+1} + 2^6 \cdot 2^{6k+1}$$
Utilizzando l'ipotesi induttiva:
$$= 9(11m - 2^{6k+1}) + 64 \cdot 2^{6k+1}$$
$$= 99m - 9 \cdot 2^{6k+1} + 64 \cdot 2^{6k+1}$$
$$= 99m + 55 \cdot 2^{6k+1}$$
Poiché $99m$ e $55 \cdot 2^{6k+1}$ sono entrambi divisibili per $11$, segue che $11$ divide l'intera espressione.
Abbiamo dimostrato che $11$ divide $9^{n+1} + 2^{6n+1}$ per ogni $n \geq 0$.