Math  /  Geometry

QuestionAufgabe 610BE/610 \mathrm{BE} / Ein Reststück einer Tischplatte (graue Fläche) ist durch die Funktion f(x)=14x2+1f(x)=\frac{1}{4} x^{2}+1 sowie eine Senkrechte bei 4 begrenzt, wobei eine Längeneinheit 10 cm entspricht. Aus dem Reststück soll ein möglichst großes Rechteck (schraffierte Fläche) ausgeschnitten werden, wo bei der Punkt B auf der Funktion liegt. Berechnen Sie die Maße des Rechtecks.

Studdy Solution
Maximieren Sie die Fläche des Rechtecks:
Um die maximale Fläche zu finden, nehmen wir die Ableitung von A A bezüglich x x und setzen sie gleich Null:
A(x)=x×(14x2+1)=14x3+x A(x) = x \times \left(\frac{1}{4}x^2 + 1\right) = \frac{1}{4}x^3 + x
A(x)=34x2+1 A'(x) = \frac{3}{4}x^2 + 1
Setzen Sie A(x)=0 A'(x) = 0 und lösen Sie nach x x :
34x2+1=0 \frac{3}{4}x^2 + 1 = 0
34x2=1 \frac{3}{4}x^2 = -1
Da x2 x^2 nicht negativ sein kann, überprüfen wir die Randwerte. Da der Bereich durch x=4 x = 4 begrenzt ist, prüfen wir x=4 x = 4 :
A(4)=4×(14×42+1)=4×(4+1)=4×5=20 A(4) = 4 \times \left(\frac{1}{4} \times 4^2 + 1\right) = 4 \times (4 + 1) = 4 \times 5 = 20
Die maximal mögliche Fläche ist 20 20 Längeneinheiten, was 2000 2000 cm² entspricht.
Die Maße des Rechtecks sind 40 40 cm (Breite) und 50 50 cm (Höhe).

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