Question17 Abiturprüfung 2016 (Bayern), Analysis, Prüfungsteil B, Teilaufgaben 1a) bis g) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto e^{\frac{1}{2} x}+e^{-\frac{1}{2} x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{f}$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_{f}$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_{f}$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \rightarrow-\infty$ und für $x \rightarrow+\infty$. c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$ von $f$ die Beziehung $f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{4} \cdot f(x)$ für $x \in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_{f}$ linksgekrümmt ist. d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $\mathrm{G}_{f}$. (zur Kontrolle: $\left.f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \cdot\left(e^{\frac{1}{2} x}-e^{-\frac{1}{2} x}\right)\right)$ e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente $g$ an $G_{f}$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4 \leq x \leq 4,-1 \leq y \leq 9$ ). f) Berechnen Sie f(4) [...] auf zwei Dezimalen genau und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_{f}$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 17e) ein. g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für $x \in \mathbb{R}$ die Beziehung $\frac{1}{4} \cdot[f(x)]^{2}-\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=1$ gilt.